Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE
Cette projection Π est également conservative car on a :
imax
∑
i=1
Ũ p i
=
imax
∑
i=1
( imax
) ∑
ã i,k Ũ p k
.
k=1
Pour terminer l’introduction de ces projections Π et ˜Π , on remarque qu’elles ne commutent pas
en général : Π(˜ΠU) ≠ ˜Π(ΠU).
Grâce aux projections définies ci-dessus, on peut mettre en place une procédure numérique
pour calculer(U p i ) 1≤i≤imax à partir de(U p+1
i
) 0≤i≤imax . En supposant que la solution(U p+1
i
est connue sur le maillageMàε p+1 , le schéma numérique peut se résumer de la manière suivante :
) 1≤i≤imax
1. À l’énergie ε p+1 , la solution (U p+1
i
) 1≤i≤imax , définie sur le maillage M, est projetée sur le
maillage ˜M grâce à l’opérateur ˜Π pour obtenir (Ũp+1 i
) 1≤i≤imax :
Ũ p+1
i
= (˜ΠU) p+1
i
pour 1 ≤ i ≤ imax.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
2. On applique le schéma (4.34) pour obtenir la solution approchée(Ũp i ) 1≤i≤imax sur le maillage
˜M àε p .
3. Puis la solution (Ũ p i ) 1≤i≤imax sur le maillage ˜M est reprojetée sur le maillage initial M
grâce à l’opérateur de projection Π :
U p i
= (ΠŨ)p i
pour 1 ≤ i ≤ imax.
Pour clarifier les notations dans la suite, on appelle cette procédure numérique (4.34)˜Π-(4.35) Π .
Le lemme suivant donne les hypothèses requises pour assurer la robustesse de ce schéma.
Lemme 4.2.2. Soit U p+1
i
dans l’espace A 1 pour 1 ≤ i ≤ imax. On suppose que la solution
U p i
est donnée par la procédure numérique (4.34)˜Π-(4.35) Π . Alors, sous la condition CFL (4.30),
pour tout 1 ≤ i ≤ imax, U p i
est dans l’espace A 1 .
Démonstration. L’étape de projection ˜Π est une combinaison convexe des vecteurs U p+1
i
. Ainsi,
dès que U p+1
i
∈ A 1 pour tout 1 ≤ i ≤ imax, les vecteurs projetés Ũp+1 i
sont toujours dans
l’espace A 1 qui est convexe. D’après [70], le schéma HLL (4.34) préserve les états admissibles
sous la condition CFL (4.30) si le cône est assez ouvert. On en déduit queŨp i est dans l’espace A 1
pour tout 1 ≤ i ≤ imax.
Finalement, la reprojection de la solution sur le maillage M, qui consiste en une combinaison
convexe d’éléments deŨp i , préserve Up i
dans l’espace des états admissibles. D’oùU p i
est dans A 1
pour tout 1 ≤ i ≤ imax, ce qui conclut la démonstration.
Ce schéma incluant des étapes de projection sera appelé HLL cvp , où l’indice cvp signifie
changement de variables avec projections.
Pour valider le schéma (4.34)˜Π-(4.35) Π , on s’intéresse au problème de Riemann (4.36) où la
densité ρ et le pouvoir d’arrêt S sont définis par (4.37). Sur la figure 4.3, on compare les résultats
donnés par ce schéma d’ordre un et d’ordre deux sur le domaine [0;1] discrétisé par 256 cellules.
Le schéma d’ordre deux est obtenu en appliquant la méthode standard MUSCL (voir [12, 13, 86,
109]) : une fois que la solution est projetée sur le maillage ˜M, on effectue une reconstruction
polynomiale de la solution Ũ que l’on utilise à chaque interface pour le calcul des flux. Pour éviter
des pentes trop importantes lors de cette reconstruction polynomiale, on considère ici les limiteurs
de pente minmod et Van Leer.
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