Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE
[103, 22]). En fait, la principale difficulté de cette expérience provient de la densité discontinue.
Comme prévu, le schéma gère correctement ces discontinuités dans la définition de l’énergie.
Dans le paragraphe suivant, les résultats de ce cas-test seront comparés avec ceux d’une autre
méthode et des améliorations de la convergence numérique seront détaillées.
4.2.2 Méthode avec projections en 1D
Dans le paragraphe précédent, on a développé une méthode spécifique au modèle (4.8) en
dimension un basée sur des changements de variables pertinents. Grâce à ces changements de
variables, le schéma (4.32) a pour principal avantage d’être indépendant des discontinuités de la
fonction de densité ρ(x). Le schéma est ainsi très pratique et donne une bonne approximation de
la solution.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
L’objectif est à présent d’étendre cette méthode au cas bidimensionnel. En effet, il n’existe
alors plus de changement de variables global pour faire disparaître ρ dans le cas général. On remarque
qu’en remplaçant la dérivée partielle par un opérateur dans (4.23), une telle transformation
n’existe pas en général. Dans un premier temps, l’idée est de modifier le schéma (4.35) pour considérer
un changement de variables local et ainsi permettre une extension simple en dimension
deux.
Dans le schéma précédent (4.35), le maillage ˜M était uniforme pour les variables modifiées.
Puis à partir des nœuds ˜x i+
1 , on a obtenu un maillage non-uniformeM pour les variables initiales.
2
Dans le schéma modifié, les deux maillages M et ˜M sont uniformes. Par conséquent, les nœuds
ne seront plus liés par la relation (4.21) et on aura en général :
x i+
1
2
˜x i+
1
2
≠ ˜x(x i+
1).
2
Dans ce paragraphe, on développe une technique de projection pour passer de l’un à l’autre.
Pour commencer, on définit les deux maillages M et ˜M.
Soient ∆x et ∆˜x, les largeurs respectives de deux cellules des maillages M et ˜M telles que :
x i+
1
2
˜x i+
1
2
= i∆x avec ∆x = x M
imax ,
= i∆˜x avec ∆˜x = ˜x M
imax ,
où ˜x M est toujours défini par (4.2.1). Les mailles sont alors définies par :
M i = [x i−
1
2
;x i+
1
2
] et ˜Mi = [˜x i−
1
2
;˜x i+
1].
2
Les centres des cellules M i et ˜M i sont notés x i et ˜x i . Les mailles M i et ˜M i forment alors une
partition des intervalles [0;x M ] et [0;˜x M ] :
imax
⋃
i=1
M i = [0;x M ]
et
imax
⋃
i=1
˜M i = [0;˜x M ].
À chaque énergie ε p+1 , on suppose connu le vecteur des états U p+1
i
sur le maillage M. Pour
calculer l’approximation de la solution(U p i ) 1≤i≤imax enε p à partir de la solution(U p+1
i
) 1≤i≤imax ,
on utilise le schéma (4.34) sur le maillage ˜M. Il faut donc déterminer Ũp+1 i
sur le maillage ˜M.
Le but à présent est de définir une procédure de projection judicieuse pour passer de M à ˜M et
ainsi pouvoir évaluerŨp+1 i
. Afin que le schéma reste conservatif, la projection doit également être
conservative.
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