Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

4.2. Schémas numériques
FIGURE 4.1 – Solution Ψ 0 du problème de Riemann (4.36) : solution de référence (trait plein) et
approchée par le schéma HLL cv (pointillés)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
En utilisant les relations (4.26) et (4.33), on obtient un schéma pour les variables initiales
(x,ε) :
avec
(
S(ε p )U p i
= S(ε p+1 ) U p+1
i
− ∆˜ε ( )
∆˜x α F p+1 −F p+1
i+ 1 i− 1 2 2
( )
Σ p+1 0
i
=
(Ψ 1 ) p+1
i
T p+1
et α =
)
+2∆˜ε (1−αp+1 )
Σ p+1
i
, (4.35)
∆˜x
2
2+∆˜x .
Ce schéma est noté HLL cv , où l’indice cv signifie changement de variables.
Test de validation
Afin de valider ce schéma numérique, on réalise plusieurs cas-tests.
Le premier cas-test est dédié à l’approximation d’un problème de Riemann pour (4.32). La donnée
initiale est composée de deux états constants séparés par une discontinuité en x = 0.5 sur
l’intervalle [0;1] :
Ψ 0 (x,ε max ) =
{
0.5 si 0 ≤ x < 0.5,
3 si 1 ≥ x > 0.5,
Ψ 1 (x,ε max ) = 0. (4.36)
Pour cette expérience, on considère qu’il n’y a pas de terme source et donc queT(ε) = 0. De plus,
on suppose que le pouvoir d’arrêt est constant S(ε) = 1, et on impose une densité discontinue :
⎧
⎪⎨ 1 si x < 0.3,
ρ(x) = 0.01 si 0.3 < x < 0.5,
⎪⎩
1 si x > 0.5,
(4.37)
Sur la figure 4.1, la solution donnée par le schéma HLL cv est comparée à la solution de référence
sur le domaine [0;1] discrétisé par 256 cellules. On compare la solution approchée Ψ 0 avec la
solution de référence qui est la solution exacte du probème de Riemann. On observe que cette approximation
est assez bonne et correspond bien à ce que l’on peut attendre d’un schéma HLL (voir
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