Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE<br />
Lemme 4.2.1. SoitU p+1<br />
i<br />
dans l’espaceA 1 <strong>pour</strong>1 ≤ i ≤ imax. On suppose que le vecteur d’états<br />
Ũ p+1<br />
i<br />
à ˜ε p+1 est donné par (4.31). Alors, sous la condition CFL (4.30), U p i<br />
est dans l’espace A 1<br />
<strong>pour</strong> 1 ≤ i ≤ imax.<br />
Démonstration. On suppose que U p+1<br />
i<br />
est dans l’espace A 1 <strong>pour</strong> tout 1 ≤ i ≤ imax. On a donc<br />
les deux relations suivantes :<br />
(Ψ 0 ) p+1<br />
i<br />
> 0 et<br />
D’après la relation (4.26), on déduit immédiatement :<br />
|(Ψ 1 ) p+1<br />
i<br />
|<br />
(Ψ 0 ) p+1 < 1.<br />
i<br />
(˜Ψ 0 ) p+1<br />
i<br />
= S(ε p+1 )(Ψ 0 ) p+1<br />
i<br />
et (˜Ψ 1 ) p+1<br />
i<br />
= S(ε p+1 )(Ψ 1 ) p+1<br />
i<br />
.<br />
Comme le pouvoir d’arrêt est une fonction positive, on a les relations :<br />
(˜Ψ 0 ) p+1<br />
i<br />
> 0 et<br />
|(˜Ψ 1 ) p+1<br />
i<br />
|<br />
(˜Ψ 0 ) p+1 < 1,<br />
i<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
ce qui implique que Ũp+1 i<br />
est dans A 1 <strong>pour</strong> tout 1 ≤ i ≤ imax.<br />
D’après [70, 22], sous la condition CFL (4.30), les états Ũp i<br />
appartiennent à l’ensemble A 1 <strong>pour</strong><br />
1 ≤ i ≤ imax, dès que Ũp+1 i<br />
∈ A 1 <strong>pour</strong> 1 ≤ i ≤ imax.<br />
Finalement, à partir <strong>des</strong> relations (4.26) et par positivité de la fonctionS, on déduit que siŨp i<br />
∈ A 1 ,<br />
alors U p i<br />
∈ A 1 , ce qui conclut la démonstration.<br />
Discrétisation du <strong>terme</strong> source<br />
On s’intéresse à présent à la discrétisation du système <strong>avec</strong> <strong>terme</strong> source. Dans le jeu de<br />
variables modifiées, le système initial (4.14) peut se réécrire :<br />
∂˜ε˜Ψ0 (˜x,˜ε)−∂˜x˜Ψ1 (˜x,˜ε) = 0,<br />
( ))<br />
∂˜ε˜Ψ1 (˜x,˜ε)−∂˜x<br />
(˜Ψ ˜Ψ1 0 (˜x,˜ε)<br />
(˜x,˜ε)χ =<br />
˜Ψ ˜T(˜ε)˜Ψ 1 (˜x,˜ε),<br />
0 (˜x,˜ε)<br />
(4.32)<br />
où le changement de variables (4.26) et la définition de T (4.9) donnent :<br />
˜T(˜ε(ε)) = T(ε). (4.33)<br />
Pour discrétiser le <strong>terme</strong> source, on utilise la méthode développée dans [19] que l’on a également<br />
utilisée <strong>pour</strong> discrétiser le modèle M 1 du transfert radiatif dans le paragraphe 3.2.4. On obtient<br />
alors le schéma :<br />
où<br />
Ũ p i<br />
= Ũp+1 i<br />
et la forme discrète du <strong>terme</strong> source<br />
− ∆˜ε (<br />
∆˜x α ˜F p+1 −<br />
i+ 1 2<br />
˜Σ<br />
p+1<br />
α =<br />
)<br />
p+1 ˜F<br />
i− 1 2<br />
2<br />
2+∆˜x ,<br />
i<br />
est donnée par :<br />
(<br />
˜Σ p+1<br />
i<br />
=<br />
)<br />
0<br />
(˜Ψ 1 ) p+1<br />
i<br />
˜T p+1 .<br />
122<br />
+2 ∆˜ε (1−α) p+1 ˜Σ<br />
i<br />
, (4.34)<br />
∆˜x