Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE
Lemme 4.2.1. SoitU p+1
i
dans l’espaceA 1 pour1 ≤ i ≤ imax. On suppose que le vecteur d’états
Ũ p+1
i
à ˜ε p+1 est donné par (4.31). Alors, sous la condition CFL (4.30), U p i
est dans l’espace A 1
pour 1 ≤ i ≤ imax.
Démonstration. On suppose que U p+1
i
est dans l’espace A 1 pour tout 1 ≤ i ≤ imax. On a donc
les deux relations suivantes :
(Ψ 0 ) p+1
i
> 0 et
D’après la relation (4.26), on déduit immédiatement :
|(Ψ 1 ) p+1
i
|
(Ψ 0 ) p+1 < 1.
i
(˜Ψ 0 ) p+1
i
= S(ε p+1 )(Ψ 0 ) p+1
i
et (˜Ψ 1 ) p+1
i
= S(ε p+1 )(Ψ 1 ) p+1
i
.
Comme le pouvoir d’arrêt est une fonction positive, on a les relations :
(˜Ψ 0 ) p+1
i
> 0 et
|(˜Ψ 1 ) p+1
i
|
(˜Ψ 0 ) p+1 < 1,
i
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
ce qui implique que Ũp+1 i
est dans A 1 pour tout 1 ≤ i ≤ imax.
D’après [70, 22], sous la condition CFL (4.30), les états Ũp i
appartiennent à l’ensemble A 1 pour
1 ≤ i ≤ imax, dès que Ũp+1 i
∈ A 1 pour 1 ≤ i ≤ imax.
Finalement, à partir des relations (4.26) et par positivité de la fonctionS, on déduit que siŨp i
∈ A 1 ,
alors U p i
∈ A 1 , ce qui conclut la démonstration.
Discrétisation du terme source
On s’intéresse à présent à la discrétisation du système avec terme source. Dans le jeu de
variables modifiées, le système initial (4.14) peut se réécrire :
∂˜ε˜Ψ0 (˜x,˜ε)−∂˜x˜Ψ1 (˜x,˜ε) = 0,
( ))
∂˜ε˜Ψ1 (˜x,˜ε)−∂˜x
(˜Ψ ˜Ψ1 0 (˜x,˜ε)
(˜x,˜ε)χ =
˜Ψ ˜T(˜ε)˜Ψ 1 (˜x,˜ε),
0 (˜x,˜ε)
(4.32)
où le changement de variables (4.26) et la définition de T (4.9) donnent :
˜T(˜ε(ε)) = T(ε). (4.33)
Pour discrétiser le terme source, on utilise la méthode développée dans [19] que l’on a également
utilisée pour discrétiser le modèle M 1 du transfert radiatif dans le paragraphe 3.2.4. On obtient
alors le schéma :
où
Ũ p i
= Ũp+1 i
et la forme discrète du terme source
− ∆˜ε (
∆˜x α ˜F p+1 −
i+ 1 2
˜Σ
p+1
α =
)
p+1 ˜F
i− 1 2
2
2+∆˜x ,
i
est donnée par :
(
˜Σ p+1
i
=
)
0
(˜Ψ 1 ) p+1
i
˜T p+1 .
122
+2 ∆˜ε (1−α) p+1 ˜Σ
i
, (4.34)
∆˜x