Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

4.2. Schémas numériques
Sur cet intervalle [0;˜x M ], on construit un maillage uniforme en notant :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
˜x i+
1
2
= i∆˜x avec ∆˜x = ˜x M
imax ,
pour 0 ≤ i ≤ imax,
où imax est le nombre de mailles et ˜x i+
1 est l’interface entre les cellules i et i+1.
2
Si on note les mailles ˜Mi = [˜x i−
1;˜x 2 i+
1], l’intervalle [0;˜x M ] se décompose de la manière sui-
2
vante :
À partir de ce maillage
[0;x M ] :
˜M =
imax
⋃
i=1
˜M i . (4.27)
˜M, on obtient un maillage non-uniforme M pour discrétiser l’intervalle
x i+
1
2
= ˜x −1 (˜x i+
1), (4.28)
2
où ˜x −1 est la fonction inverse de la fonction ˜x définie par (4.21).
Les mailles M i forment une partition de [0;x M ] : ⋃ imax
i=1 M i = [0;x M ], mais l’incrément
x i+
1 −x
2 i−
1 n’est en général pas constant.
2
On peut à présent écrire un schéma HLL rétrograde pour le système (4.25) muni de la donnée de
Cauchy :Ψ 0 (x,ε max ) = δ,Ψ 1 (x,ε max ) = 0 sur le maillage uniforme ˜M. On introduit également
un second maillage uniforme ˜ε p = p∆˜ε en énergie.
On suppose ainsi connue une approximation constante par morceaux Ũh (˜ε p+1 ,˜x) pour une
énergie ˜ε p+1 définie par :
Ũ h (˜ε p+1 ,˜x) = Ũp+1 i
si ˜x ∈ ˜M i .
On fait évoluer cette solution en énergie pour obtenir une approximation Ũp i à l’énergie ˜εp . On
obtient alors le schéma HLL rétrograde :
Ũ p i
= Ũp+1 i
− ∆˜ε ( )
˜F p+1 p+1
− ˜F , (4.29)
∆˜x i+ 1 i− 1 2 2
où le flux numérique ˜F est donné par :
˜F p+1 = 1 (
i+ 1 2 2
F(Ũp+1 i
)+F(Ũp+1 i+1
)− ) 1 2
(Ũp+1
)
i+1 −Ũp+1 i
.
D’après [70] (voir aussi [22, 103, 86, 60]), le pas d’énergie ∆˜ε est restreint par la condition CFL
suivante :
∆˜ε ≤ ∆˜x , (4.30)
2λ max
où λ max est le module de la plus grande valeur propre. Ici, comme λ max ≤ 2, on prendra ∆˜ε ≤
∆˜x/4.
Une fois que l’on a discrétisé le système (4.25), l’idée est d’obtenir directement un schéma dans
le jeu de variables initiales grâce à la relation (4.26) :
avec
S(ε p )U p i
= S(ε p+1 )
F p+1
i+ 1 2
(
U p+1
i
− ∆˜ε
∆˜x
( ))
F p+1 −F p+1 , (4.31)
i+ 1 i− 1 2 2
(
F(U p+1
i
)+F(U p+1
i+1
)− ) 1 ( )
U p+1
i+1
2
−Up+1 i
.
= 1 2
Précisons que la discrétisation en variables initiales (x,ε) n’est pas uniforme dès lors que ρ n’est
pas constante. Les variables initiales sont donc discrétisées par un maillage non uniforme. Le pas
d’énergie n’est quant à lui pas modifié par rapport au schéma sur le maillage uniforme.
Pour conclure la description du schéma en dimension un pour le système homogène (4.15), le
lemme suivant donne les hypothèses requises pour assurer la robustesse de ce schéma :
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