Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE
qui est bien définie car S est strictement positive. Comme le pouvoir d’arrêt est une fonction
positive, l’application ˜ε : ε ↦→ ˜ε(ε) est clairement croissante et peut donc être utilisée comme
changement de variable pour définir :
La dérivée en énergie s’écrit alors :
Ū(x,˜ε(ε)) = Û(x,ε). (4.19)
S(ε)∂ ε Û(x,ε) = ∂˜ε Ū(x,˜ε).
En conséquence, le système (4.2.1) se réécrit de façon équivalente :
∂˜ε¯Ψ0 (x,˜ε)− 1
ρ(x) ∂ x¯Ψ 1 (x,˜ε) = 0,
∂˜ε¯Ψ1 (x,˜ε)− 1
ρ(x) ∂ (¯Ψ0 x (x,˜ε)χ( ¯Ψ1 (x,˜ε)
¯Ψ 0 (x,˜ε)
Puis, on utilise la même approche pour la densité ρ(x). On pose tout d’abord :
) )
= 0.
(4.20)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
˜x(x) =
∫ x
0
ρ(t)dt. (4.21)
Comme la densité est une fonction strictement positive, la fonction définie par ˜x : R + → R + est
croissante et permet donc de définir un changement de variables de la façon suivante :
La dérivée en espace s’écrit alors :
et le système (4.20) devient :
Ũ(˜x,˜ε) = Ū(x,˜ε). (4.22)
1
∂xŪ(x,˜ε) = ∂˜xŨ(˜x,˜ε), (4.23)
ρ(x)
∂˜ε˜Ψ0 (˜x,˜ε)−∂˜x˜Ψ1 (˜x,˜ε) = 0,
( ))
∂˜ε˜Ψ1 (˜x,˜ε)−∂˜x
(˜Ψ ˜Ψ1 0 (˜x,˜ε)
(˜x,˜ε)χ = 0.
˜Ψ 0 (˜x,˜ε)
(4.24)
Les valeurs propres de ce système sont comprises entre −1 et 2.
Pour alléger les notations, le système de lois de conservation (4.24) est réécrit sous forme condensée
:
∂˜ε Ũ −∂˜x F(Ũ) = 0, (4.25)
où le flux F est défini par (4.16).
Pour résumer les changements de variables (4.17), (4.19) et (4.22), on a l’égalité suivante :
S(ε)U(x,ε) = Ũ(˜x,˜ε). (4.26)
Pour discrétiser le système (4.15) sur l’intervalle [0;x M ], on choisit d’approcher (4.25) en considérant
un maillage uniforme pour les variables (˜x,˜ε). Pour un intervalle fixé [0;x M ], en lui appliquant
le changement de variable (4.21), on obtient un intervalle [0;˜x M ] avec :
˜x M := ˜x(x M ) =
120
∫ xM
0
ρ(t)dt.