Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

4.2. Schémas numériques
4.2 Schémas numériques
4.2.1 Méthode avec changement de variables en 1D
On considère le système suivant :
∂ ε (ρSΨ 0 )−∂ x Ψ 1 = 0,
∂ ε (ρSΨ 1 )−∂ x
(
Ψ 0 χ( Ψ1
Ψ 0) )
= ρTΨ 1 ,
(4.14)
où la solution (Ψ 0 ,Ψ 1 ) est dans l’espace des états admissibles A 1 défini par (4.6).
Dans un premier temps, on s’intéresse au système homogène associé à (4.14) que l’on écrit
sous forme condensée par :
∂ ε (ρSU)−∂ x F(U) = 0, (4.15)
où U = (Ψ 0 ,Ψ 1 ) T est le vecteur des inconnues dans A 1 et le fluxF est défini par :
F(U) = (Ψ 1 ,Ψ 0 χ ( Ψ 1 /Ψ 0) ) T . (4.16)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
L’idée est de faire un changement de variables dans (4.15) qui peut conduire à un système n’impliquant
pas ρ(x) et S(ε) dans l’opérateur de dérivée en énergie. Ensuite, le système obtenu est
discrétisé par un schéma HLL [70] (voir aussi [22, 103]).
Dans un second temps, on applique l’idée du schéma HLL asymptotic preserving développé dans
le chapitre 3 pour le modèle M 1 du transfert radiatif afin de prendre en compte le terme source.
Schéma numérique pour le système homogène
Pour se concentrer sur le rôle des fonctions ρ(x) et S(ε), on considère le système homogène
(4.15). Puisque la densité ρ(x) peut présenter de larges variations voire même être discontinue et
ainsi engendrer des difficultés numériques, l’idée est d’introduire un changement de variables afin
de l’éliminer de la dérivée en énergie.
Pour cela, on commence par s’affranchir du pouvoir d’arrêt S(ε) dans la dérivée en énergie, on
pose :
Û(x,ε) = S(ε)U(x,ε), (4.17)
pour réécrire le système (4.15) sous la forme :
S∂ ε (ρˆΨ 0 )−∂ xˆΨ1 = 0,
( )
S∂ ε (ρˆΨ 1 )−∂ (ˆΨ0 ˆΨ1 ) (4.18)
x χ = 0.
ˆΨ 0
Puis, comme la densité est strictement positive et ne dépend pas de l’énergie, on peut diviser le
système (4.18) par ρ et ainsi écrire :
S∂ εˆΨ0 − 1 ρ ∂ xˆΨ 1 = 0,
S∂ εˆΨ1 − 1 ρ ∂ x(ˆΨ0 χ
On définit à présent la fonction ˜ε : R + → R + par :
˜ε(ε) =
∫ ε
0
119
(ˆΨ1
ˆΨ 0 )
)
= 0.
1
S(t) dt,