Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
4.2. Schémas <strong>numériques</strong><br />
4.2 Schémas <strong>numériques</strong><br />
4.2.1 Méthode <strong>avec</strong> changement de variables en 1D<br />
On considère le système suivant :<br />
∂ ε (ρSΨ 0 )−∂ x Ψ 1 = 0,<br />
∂ ε (ρSΨ 1 )−∂ x<br />
(<br />
Ψ 0 χ( Ψ1<br />
Ψ 0) )<br />
= ρTΨ 1 ,<br />
(4.14)<br />
où la solution (Ψ 0 ,Ψ 1 ) est dans l’espace <strong>des</strong> états admissibles A 1 défini par (4.6).<br />
Dans un premier temps, on s’intéresse au système homogène associé à (4.14) que l’on écrit<br />
sous forme condensée par :<br />
∂ ε (ρSU)−∂ x F(U) = 0, (4.15)<br />
où U = (Ψ 0 ,Ψ 1 ) T est le vecteur <strong>des</strong> inconnues dans A 1 et le fluxF est défini par :<br />
F(U) = (Ψ 1 ,Ψ 0 χ ( Ψ 1 /Ψ 0) ) T . (4.16)<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
L’idée est de faire un changement de variables dans (4.15) qui peut conduire à un système n’impliquant<br />
pas ρ(x) et S(ε) dans l’opérateur de dérivée en énergie. Ensuite, le système obtenu est<br />
discrétisé par un schéma HLL [70] (voir aussi [22, 103]).<br />
Dans un second temps, on applique l’idée du schéma HLL asymptotic preserving développé dans<br />
le chapitre 3 <strong>pour</strong> le modèle M 1 du transfert radiatif afin de prendre en compte le <strong>terme</strong> source.<br />
Schéma numérique <strong>pour</strong> le système homogène<br />
Pour se concentrer sur le rôle <strong>des</strong> fonctions ρ(x) et S(ε), on considère le système homogène<br />
(4.15). Puisque la densité ρ(x) peut présenter de larges variations voire même être discontinue et<br />
ainsi engendrer <strong>des</strong> difficultés <strong>numériques</strong>, l’idée est d’introduire un changement de variables afin<br />
de l’éliminer de la dérivée en énergie.<br />
Pour cela, on commence par s’affranchir du pouvoir d’arrêt S(ε) dans la dérivée en énergie, on<br />
pose :<br />
Û(x,ε) = S(ε)U(x,ε), (4.17)<br />
<strong>pour</strong> réécrire le système (4.15) sous la forme :<br />
S∂ ε (ρˆΨ 0 )−∂ xˆΨ1 = 0,<br />
( )<br />
S∂ ε (ρˆΨ 1 )−∂ (ˆΨ0 ˆΨ1 ) (4.18)<br />
x χ = 0.<br />
ˆΨ 0<br />
Puis, comme la densité est strictement positive et ne dépend pas de l’énergie, on peut diviser le<br />
système (4.18) par ρ et ainsi écrire :<br />
S∂ εˆΨ0 − 1 ρ ∂ xˆΨ 1 = 0,<br />
S∂ εˆΨ1 − 1 ρ ∂ x(ˆΨ0 χ<br />
On définit à présent la fonction ˜ε : R + → R + par :<br />
˜ε(ε) =<br />
∫ ε<br />
0<br />
119<br />
(ˆΨ1<br />
ˆΨ 0 )<br />
)<br />
= 0.<br />
1<br />
S(t) dt,