Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE
Le système (4.8) est alors complété par une condition de type Cauchy donnée. Si l’on interprète
l’énergie ε comme un temps mathématique, la condition initiale est donc donnée pour ε = ε max .
Avec toutes ces définitions, le problème de Cauchy pour le modèle (4.8) défini pour x ∈ R 2 et
ε ∈ [0;ε max ] est donné par :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
avec la condition :
∂ ε (ρSΨ 0 )−∇.Ψ 1 = 0,
∂ ε (ρSΨ 1 )−∇.D e ( Ψ1
Ψ 0)Ψ0 = ρTΨ 1 ,
Ψ 0 (x,ε max ) = δ, Ψ 1 (x,ε max ) = 0.
(4.12)
Il est prouvé dans [41] que ce système hyperbolique a la bonne limite de transport et dans [66],
qu’il reproduit bien la limite de l’équation cinétique. On attend également de ce modèle qu’il
préserve la positivité de Ψ 0 .
De nombreuses méthodes numériques ont été développées dans la littérature pour les systèmes
hyperboliques de lois de conservation et en particulier quelques unes sont détaillées pour différents
modèles dans [62, 64, 24, 25, 26, 14, 15, 19, 66]. Ces schémas peuvent être appliqués au modèle
M 1 (4.12) pour des cas où la densité présente de petites variations. Dans cette étude, on s’intéresse
à une méthode de type volumes finis capable de gérer de larges variations de la densité. En effet,
dans le système (4.8), le flux dépend explicitement de la densité ρ(x), ce qui pose de grandes
difficultés numériques. De plus, cette densité peut varier entre plusieurs ordres de grandeurs, allant
par exemple de ρ ∼ 1 (eau) à ρ ∼ 10 −3 (air). Une discrétisation naïve de ce système consiste à
séparer la dérivée en énergie de la manière suivante :
∂ ε (ρSΨ 0 ) = ρS∂ ε Ψ 0 +Ψ 0 ∂ ε (ρS),
pour réécrire le système (4.8) en dimension un sous la forme :
∂ ε Ψ 0 = 1 (
∂x Ψ 1 −∂ ε (ρS) ) ,
ρS
∂ ε Ψ 1 = 1 (
∂x (Ψ 0 χ(Ψ 1 /Ψ 0 ))+Ψ 1 (ρT −∂ ε (ρS)) ) .
ρS
(4.13)
La présence de la densité ρ(x) devant la dérivée du flux peut engendrer des difficultés numériques
quand ρ est discontinue. Si l’on considère une discrétisation classique, les pas de temps peuvent
devenir très petits et les calculs très longs. Pour surmonter cette difficulté, on développe une technique
spécifique capable de gérer ce flux qui dépend fortement de l’espace. Plusieurs auteurs ont
travaillé sur des méthodes numériques pour des lois de conservation présentant des flux discontinus.
L’article [111] par exemple, passe en revue un grand nombre de ces méthodes. L’idée ici est
nouvelle dans le sens où l’on profite de la structure spécifique des coefficients discontinus pour
faire des transformations sur les variables initiales.
Dans un premier paragraphe, on considère le modèle en 1D et on introduit une transformation
capable de gérer le pouvoir d’arrêt. En effet, on remarque que la densité ρ(x) et la fonction S(ε)
déforment l’espace des phases (x,ε), ce qui rend l’approximation numérique difficile. On suggère
alors un changement de variables judicieux afin de redresser l’espace des phases. Le schéma
numérique obtenu est ainsi très précis et peu coûteux, mais n’admet pas d’extension directe en
2D. Dans le paragraphe 4.2.2, on reformule alors cette méthode unidimensionnelle pour qu’elle
admette une extension directe en 2D. Des résultats de convergence et quelques comparaisons illustrent
dans le paragraphe 5.1 les performances de ce schéma et justifient son extension en 2D.
Le paragraphe 4.2.3 est consacré à la présentation de la procédure numérique en 2D. Finalement
quelques résultats de convergence et des cas-tests physiques y seront aussi présentés ainsi que dans
le paragraphe 5.2. On précise que ce travail a fait l’objet d’une publication [16].
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