Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE
propriétés spécifiques de la radiothérapie, deux développements asymptotiques sont utilisés : le
Continuous Slowing Down (CSD) et Fokker-Planck.
Pour tenir compte de la faible perte d’énergie, après une mise à l’échelle de l’énergie et un
développement asymptotique, on obtient l’équation CSD :
∫
∫
Ω.∇Ψ(x,ε,Ω) = ρ(x) ¯σ(ε,Ω ′ .Ω)Ψ(x,ε,Ω ′ )dΩ ′ −ρ(x) ¯σ(ε,Ω.Ω ′ )Ψ(x,ε,Ω)dΩ ′
S 2 S 2
+∂ ε (S M (x,ε)Ψ(x,ε,Ω)), (4.1)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où :
¯σ(ε,Ω.Ω ′ ) =
∫ ∞
0
σ(ε ′ ,ε,Ω.Ω ′ )dε ′ , (4.2)
est le coefficient de section efficace et
∫ ∞
S M (x,ε) = ρ(x) ε
∫S ′ σ(ε ′ ,ε,Ω.Ω ′ )dε ′ dΩ ′ = ρ(x)S(ε), (4.3)
2 0
est le pouvoir d’arrêt qui représente la perte d’énergie d’une particule par unité de libre parcours.
Il décrit ainsi la vitesse à laquelle la particule se déplace et s’arrête dans la matière.
Si l’on prend en compte le faible angle de dispersion, après une mise à l’échelle du noyau de
scattering, une analyse asymptotique conduit à l’équation de Fokker-Planck :
Ω.∇Ψ(x,ε,Ω) = T tot (x,ε)∆ Ω Ψ(x,ε,Ω)+∂ ε (S M (x,ε)Ψ(x,ε,Ω)), (4.4)
où T tot est le coefficient de transport, S M est le pouvoir d’arrêt et ∆ Ω est l’opérateur de Laplace
sur la sphère unité.
Avec ces quantités physiques, on peut définir la variable d’intérêt en radiothérapie appelée dose :
D(x) = 1
ρ(x)
∫ ∞
0
∫
S M (x,ε) Ψ(x,ε,Ω)dΩdε, (4.5)
S 2
qui représente la quantité d’énergie déposée dans la matière.
Jusqu’à présent, les calculs de doses cliniques reposent sur des modèles semi-empiriques. Ils sont
basés sur des solutions explicites de rayonnement dans des géométries simplifiées (voir par exemple
la théorie uni-dimensionnelle de Fermi-Eyges [52]). Ces solutions explicites sont combinées
avec des données expérimentales pour calculer la dose sur l’axe central (voir par exemple [72]).
Malgré de nombreuses améliorations de la théorie de Fermy-Eyges en incluant par exemple des
termes de correction [76, 77, 4, 98], elle produit des erreurs allant jusqu’à 12 % dans les inhomogénéités
[82].
Actuellement, des codes basés sur des méthodes statistiques de Monte Carlo commencent à être
introduits dans le milieu hospitalier [99, 36, 100]. Ces méthodes consistent à suivre l’évolution
d’une particule qui peut aléatoirement être transportée dans la matière et interagir avec celle-ci.
Si le nombre de particules considérées est suffisamment grand, les quantités macroscopiques peuvent
être approchées en moyennant les parcours simulés. Ainsi, les méthodes de Monte Carlo sont
très précises et peuvent traiter des géométries totalement arbitraires sans perte de précision. Bien
qu’elles soient les méthodes les plus précises pour le calcul de dose, leur coût de calcul reste prohibitif
pour leur utilisation en milieu hospitalier.
Une approche différente est basée sur des méthodes déterministes pour l’équation de transport de
Boltzmann linéarisée. En principe, leurs solutions sont comparables aux solutions Monte Carlo.
Dans [21], Börgers affirme que sous certaines conditions, les méthodes déterministes pourraient
rivaliser avec les simulations Monte Carlo. Récemment, des calculs de dose pour des cas-test
cliniques en dimension trois ont été réalisés avec le code de calcul Attila [110]. Des résultats de
précision comparable aux simulations Monte Carlo ont été obtenus avec des temps de calcul très
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