Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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Équations et schémas numériques pour
la radiothérapie
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
4.1 Généralités sur la radiothérapie et modèle utilisé
On désigne par radiothérapie le traitement des cancers et autres maladies utilisant un certain
type de rayonnement. Le rayonnement ionisant dépose de l’énergie dans les cellules de la zone
traitée afin de les détruire ou les affaiblir. Dans ce but, les médecins cherchent à déterminer les
paramètres optimaux du rayon incident pour détruire la tumeur en minimisant les dommages sur
les cellules saines avoisinantes. Il faut ainsi prévoir la dose de rayonnement optimale dans le corps
du patient avant de commencer le traitement. Pour les simulations de radiothérapie, les données
utilisées sont des coupes en dimension deux de scanners CT (computer tomography) qui décrivent
la densité des tissus.
La radiothérapie est une application du transfert radiatif où l’on considère des paramètres
physiques particuliers. On introduit tout d’abord l’équation stationnaire de transport de Boltzmann
linéarisée :
∫ ∞ ∫
Ω.∇Ψ(x,ε,Ω) = ρ(x)σ(ε,ε ′ ,Ω ′ .Ω)Ψ(x,ε ′ ,Ω ′ )dΩ ′ dε ′
0 S
∫ 2 ∞ ∫
− ρ(x)σ(ε ′ ,ε,Ω.Ω ′ )Ψ(x,ε,Ω)dΩ ′ dε ′ ,
S 2
0
où ε est l’énergie de la particule, σ est le noyau de scattering et ρ est la densité de la matière.
L’inconnue est caractérisée par Ψ(x,ε,Ω) = |v(ε)|f(x,ε,Ω) où f est la densité d’électrons dans
l’espace des phases et v la vitesse des particules.
Ici, les particules considérées sont les électrons. On voit que contrairement au transfert radiatif, le
système ne dépend pas du temps mais de l’énergie de la particule. Les interactions considérées
dans ce modèle sont le scattering élastique qui modifie la direction de l’électron sans perte d’énergie
et le scattering inélastique dans lequel un électron vient exciter un autre électron lié qui de ce
fait se sépare de l’atome auquel il appartient. Une des propriétés de la radiothérapie est la faible
déviation angulaire des électrons. Plus précisément, le scattering devient très important lorsque
l’angle de dispersion cos(µ) = Ω.Ω ′ s’approche de 1. En plus de cette propriété, le scattering
inélastique engendre de faibles pertes d’énergie. Pour prendre en compte ce comportement et les
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