Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.3. Précalculs <strong>pour</strong> le modèle M 1 multigroupe<br />
<strong>avec</strong> :<br />
J 0 (ν) =<br />
J 1 (ν) =<br />
∫ 1<br />
−1<br />
∫ 1<br />
−1<br />
I(µ,ν,α q ,β q )dµ,<br />
µI(µ,ν,α q ,β q )dµ.<br />
Numériquement, on approche les intégrales J 0 et J 1 par <strong>des</strong> quadratures. On considère par exemple<br />
une méthode de point milieu. Puis <strong>pour</strong> calculer l’intégrale en fréquence, on divise chaque<br />
groupe de fréquence [ν q ;ν q+1 ] en n q ban<strong>des</strong> étroites de même largeur dν :<br />
[ν q ;ν q+1 ] = ∪ nq<br />
i=1 [νi q;ν i+1<br />
q ],<br />
afin de supposer que l’opacité d’absorption σ a est constante sur chaque bande étroite. Ainsi on<br />
peut écrire :<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
< σ a νB > q ≃ 4πdν<br />
c<br />
< σ a νI > q ≃ 2πdν<br />
c<br />
n q<br />
∑<br />
i=1<br />
n q<br />
∑<br />
i=1<br />
n q<br />
c < σν a ΩI > ∑<br />
q ≃ 2πdν<br />
i=1<br />
On approche également l’intégrale de la Planckienne par :<br />
< B > q ≃ 4πdν<br />
c<br />
n q<br />
∑<br />
i=1<br />
Finalement, les moyennes d’opacités sont approchées par :<br />
σ e q ≃<br />
σ a q ≃<br />
σq,iB( a νi q +νi+1 q<br />
),<br />
2<br />
σq,iJ a 0 ( νi q +νq<br />
i+1<br />
),<br />
2<br />
σq,i a J1 ( νi q +νi+1 q<br />
).<br />
2<br />
B( νi q +νq<br />
i+1<br />
).<br />
2<br />
∑ nq<br />
i=1 σa q+ν i+1<br />
q,i B(νi q<br />
2<br />
)<br />
∑<br />
,<br />
nq q+ν i+1<br />
i=1 B(νi q<br />
2<br />
)<br />
2πdν<br />
∑ nq<br />
c i=1 σa q,i J0 ( νi q+νq<br />
i+1<br />
2<br />
)<br />
σ f q ≃ 2πdν∑ n q<br />
E q<br />
,<br />
i=1 σa q,i J1 ( νi q+νq<br />
i+1<br />
2<br />
)<br />
F q<br />
.<br />
Dans le cas où le fluxF q est nul, on approche l’opacité σ f q par sa limite :<br />
lim<br />
f→0 σf q = < σ ν∂ T B > q<br />
.<br />
< ∂ T B > q<br />
Dans ce cas, les intégrales sont également approchées par :<br />
< σ a ν ∂ TB > q ≃ 4πdν<br />
c<br />
< ∂ T B > q ≃ 4πdν<br />
c<br />
n q<br />
∑<br />
i=1<br />
n q<br />
σq,i a (∂ TB)( νi q +νi+1 q<br />
),<br />
2<br />
∑<br />
(∂ T B)( νi q +νq<br />
i+1<br />
).<br />
2<br />
i=1<br />
(3.73)<br />
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