Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.3. Précalculs pour le modèle M 1 multigroupe
avec :
J 0 (ν) =
J 1 (ν) =
∫ 1
−1
∫ 1
−1
I(µ,ν,α q ,β q )dµ,
µI(µ,ν,α q ,β q )dµ.
Numériquement, on approche les intégrales J 0 et J 1 par des quadratures. On considère par exemple
une méthode de point milieu. Puis pour calculer l’intégrale en fréquence, on divise chaque
groupe de fréquence [ν q ;ν q+1 ] en n q bandes étroites de même largeur dν :
[ν q ;ν q+1 ] = ∪ nq
i=1 [νi q;ν i+1
q ],
afin de supposer que l’opacité d’absorption σ a est constante sur chaque bande étroite. Ainsi on
peut écrire :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
< σ a νB > q ≃ 4πdν
c
< σ a νI > q ≃ 2πdν
c
n q
∑
i=1
n q
∑
i=1
n q
c < σν a ΩI > ∑
q ≃ 2πdν
i=1
On approche également l’intégrale de la Planckienne par :
< B > q ≃ 4πdν
c
n q
∑
i=1
Finalement, les moyennes d’opacités sont approchées par :
σ e q ≃
σ a q ≃
σq,iB( a νi q +νi+1 q
),
2
σq,iJ a 0 ( νi q +νq
i+1
),
2
σq,i a J1 ( νi q +νi+1 q
).
2
B( νi q +νq
i+1
).
2
∑ nq
i=1 σa q+ν i+1
q,i B(νi q
2
)
∑
,
nq q+ν i+1
i=1 B(νi q
2
)
2πdν
∑ nq
c i=1 σa q,i J0 ( νi q+νq
i+1
2
)
σ f q ≃ 2πdν∑ n q
E q
,
i=1 σa q,i J1 ( νi q+νq
i+1
2
)
F q
.
Dans le cas où le fluxF q est nul, on approche l’opacité σ f q par sa limite :
lim
f→0 σf q = < σ ν∂ T B > q
.
< ∂ T B > q
Dans ce cas, les intégrales sont également approchées par :
< σ a ν ∂ TB > q ≃ 4πdν
c
< ∂ T B > q ≃ 4πdν
c
n q
∑
i=1
n q
σq,i a (∂ TB)( νi q +νi+1 q
),
2
∑
(∂ T B)( νi q +νq
i+1
).
2
i=1
(3.73)
113