Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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3.3. Précalculs <strong>pour</strong> le modèle M 1 multigroupe<br />
En pratique, on utilise cette approximation <strong>pour</strong> approcher la valeur du facteur d’Eddington<br />
χ lim quandζ = ζ q . Après avoir observé le comportement deχen fonction du groupe de fréquence<br />
et du couple énergie-flux (E q ,F q ) dans les zones où ζ < ζ min , on décide d’approcher χ par un<br />
polynôme de degré 4 :<br />
χ(ζ) = C 0 +C 1 ζ +C 2 ζ 2 +C 3 ζ 3 +C 4 ζ 4 .<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Cette approximation sera valide <strong>pour</strong> ζ ∈ [ζ q ,ζ min ].<br />
Pour déterminer les coefficients C 0 ,...,C 4 , on se base sur les propriétés du facteur d’Eddington<br />
et le développement asymptotique de celui-ci. On impose les contraintes :<br />
De plus, <strong>pour</strong> fermer le système, on impose :<br />
χ(ζ q ) = χ lim ,<br />
χ ′ (ζ q ) = 0,<br />
χ ′′ (ζ q ) = 0.<br />
χ(ζ min ) = χ min ,<br />
χ ′ (ζ min ) = p min ,<br />
(3.71)<br />
(3.72)<br />
oùχ min est la valeur de χ calculée par la méthode du gradient sur le groupe [z q ,z min ] et p min est<br />
une valeur approchée de la pente deχau pointz min . On obtient alors <strong>pour</strong> tout groupe de la forme<br />
[z q ,z] <strong>avec</strong> z < z min une approximation de χ grâce à ce polynôme.<br />
En résumé, la procédure de pré-calculs du facteur d’Eddington est la suivante :<br />
• On se fixe un groupe de fréquence [ν q ,ν q+1 ].<br />
• On se fixe un couple physiquement admissible Température-facteur d’anisotropie (θ q ,f q )<br />
<strong>pour</strong> en déduire le couple énergie-flux (E q ,F q ).<br />
• On compare ζ q+1 àζ min . Deux possibilités :<br />
1. Siζ q+1 ≥ ζ min :<br />
On inverse le système (3.61) par la méthode du gradient en utilisant les approximations<br />
deE q ,F q et P q définies par (3.65),(3.67) et (3.68).<br />
2. Si ζ q+1 ≤ ζ min : On calcule χ lim donné par l’approximation (3.70) en ζ = ζ q . Puis,<br />
on approche χ par un polynôme de degré 5 (3.3.2) à l’aide <strong>des</strong> contraintes (3.71) et<br />
(3.72).<br />
Pour illustrer l’intérêt de ces pré-calculs, on compare le facteur d’Eddington gris et multigroupe.<br />
On se donne les quatre groupes de fréquence suivants :<br />
[ν 1 ;ν 2 ] = [0;3.75.10 14 ],<br />
[ν 2 ;ν 3 ] = [3.75.10 14 ;7.5.10 14 ],<br />
[ν 3 ;ν 4 ] = [7.5.10 14 ;1.10 16 ],<br />
[ν 4 ;ν 5 ] = [1.10 16 ;6.10 16 ].<br />
Puis on discrétise le facteur d’anisotropie à l’aide de 100 points. Dans le cas où l’énergie est une<br />
Planckienne, le maximum peut être situé grâce à la loi de Wien qui donne une relation entre la<br />
température T et la longueur d’onde λ (en µm) :<br />
λT = 2898.<br />
Dans ce cas, la fréquence correspondant au maximum de la Planckienne <strong>pour</strong> T = 3020K est<br />
ν max ≃ 3.12.10 14 . La figure 3.8 représente le facteur d’Eddington <strong>pour</strong> chacun <strong>des</strong> groupes de<br />
fréquence ainsi que le facteur gris en fonction du facteur d’anisotropie à T = 3020K. On voit<br />
bien, même dans ce cas simple, qu’il y a <strong>des</strong> différences significatives entre le facteur d’Eddington<br />
multigroupe et le facteur gris et que l’approximation du facteur multigroupe par le facteur gris<br />
n’est pas toujours adaptée.<br />
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