Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.3. Précalculs pour le modèle M 1 multigroupe
En pratique, on utilise cette approximation pour approcher la valeur du facteur d’Eddington
χ lim quandζ = ζ q . Après avoir observé le comportement deχen fonction du groupe de fréquence
et du couple énergie-flux (E q ,F q ) dans les zones où ζ < ζ min , on décide d’approcher χ par un
polynôme de degré 4 :
χ(ζ) = C 0 +C 1 ζ +C 2 ζ 2 +C 3 ζ 3 +C 4 ζ 4 .
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Cette approximation sera valide pour ζ ∈ [ζ q ,ζ min ].
Pour déterminer les coefficients C 0 ,...,C 4 , on se base sur les propriétés du facteur d’Eddington
et le développement asymptotique de celui-ci. On impose les contraintes :
De plus, pour fermer le système, on impose :
χ(ζ q ) = χ lim ,
χ ′ (ζ q ) = 0,
χ ′′ (ζ q ) = 0.
χ(ζ min ) = χ min ,
χ ′ (ζ min ) = p min ,
(3.71)
(3.72)
oùχ min est la valeur de χ calculée par la méthode du gradient sur le groupe [z q ,z min ] et p min est
une valeur approchée de la pente deχau pointz min . On obtient alors pour tout groupe de la forme
[z q ,z] avec z < z min une approximation de χ grâce à ce polynôme.
En résumé, la procédure de pré-calculs du facteur d’Eddington est la suivante :
• On se fixe un groupe de fréquence [ν q ,ν q+1 ].
• On se fixe un couple physiquement admissible Température-facteur d’anisotropie (θ q ,f q )
pour en déduire le couple énergie-flux (E q ,F q ).
• On compare ζ q+1 àζ min . Deux possibilités :
1. Siζ q+1 ≥ ζ min :
On inverse le système (3.61) par la méthode du gradient en utilisant les approximations
deE q ,F q et P q définies par (3.65),(3.67) et (3.68).
2. Si ζ q+1 ≤ ζ min : On calcule χ lim donné par l’approximation (3.70) en ζ = ζ q . Puis,
on approche χ par un polynôme de degré 5 (3.3.2) à l’aide des contraintes (3.71) et
(3.72).
Pour illustrer l’intérêt de ces pré-calculs, on compare le facteur d’Eddington gris et multigroupe.
On se donne les quatre groupes de fréquence suivants :
[ν 1 ;ν 2 ] = [0;3.75.10 14 ],
[ν 2 ;ν 3 ] = [3.75.10 14 ;7.5.10 14 ],
[ν 3 ;ν 4 ] = [7.5.10 14 ;1.10 16 ],
[ν 4 ;ν 5 ] = [1.10 16 ;6.10 16 ].
Puis on discrétise le facteur d’anisotropie à l’aide de 100 points. Dans le cas où l’énergie est une
Planckienne, le maximum peut être situé grâce à la loi de Wien qui donne une relation entre la
température T et la longueur d’onde λ (en µm) :
λT = 2898.
Dans ce cas, la fréquence correspondant au maximum de la Planckienne pour T = 3020K est
ν max ≃ 3.12.10 14 . La figure 3.8 représente le facteur d’Eddington pour chacun des groupes de
fréquence ainsi que le facteur gris en fonction du facteur d’anisotropie à T = 3020K. On voit
bien, même dans ce cas simple, qu’il y a des différences significatives entre le facteur d’Eddington
multigroupe et le facteur gris et que l’approximation du facteur multigroupe par le facteur gris
n’est pas toujours adaptée.
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