Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
où la variable z est donnée par (3.63). Ces deux critères correspondent exactement aux cas où|β q |
devient très proche de 1 et où la fréquence ν est très petite devant la température T , c’est-à-dire
que l’on est loin du pic de la Planckienne donnée par (1.1). On introduit la variable :
ζ = hν
kT ,
qui servira à définir numériquement si un cas est raide ou non et on note ζ q = ζ(ν q ).
On teste le code sur un grand nombre de cas pour déterminer un seuil ζ min pour lequel le cas est
considéré comme raide afin de choisir :
avec f le facteur d’anisotropie et
ζ min = min(0.5;exp(p 1 +p 2 f)),
p 1 = 6.822178996548980,
p 2 = −5.282761267696435.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Pour tous les groupes q = [ν q ,ν q+1 ] tels que ζ q+1 < ζ min , on développe une nouvelle procédure
pour approcher le facteur d’Eddington χ . Dans ces zones dites raides, on peut remplacer τ,τ b et
τ t par leurs développements asymptotiques respectifs en 0 :
τ(z) ≃
z=0
= (c 1 +c 2 ln(z))z 3 +o(z 3 ),
τ b (z) ≃
z=0
= c b 1 z2 +c 2 z 3 +o(z 3 ),
τ t (z) ≃
z=0
= c t 1 z + c 2
2 z3 +o(z 3 ),
où c 1 ,c 2 ,c b 1 et ct 1 sont des constantes.
En effet, dans la définition des fonctions S,S b et S t , les fonctions τ,τ b et τ t sont évaluées en D +
et D − .
En posant D = hνα
kT , on obtient alors les approximations suivantes pour S,Sb et S t :
[ ( )]
S(α q ,β q ,ν) ≃ = ζ3 1+βq
c 2 ln ,
‖β‖=1 β q 1−β q
S b (α q ,β q ,ν) ≃
‖β‖=1
= 2c 2ζ 3
β q
,
S t (α q ,β q ,ν) ≃ = 2c 2ζ 3
.
‖β‖=1
β 2 q
À partir de ces approximations, on en déduit une expression pour le facteur d’anisotropie et pour
χ dans ces zones :
f(α q ,β q ) = F q
cE q
= 1 β q
−
2
( ), (3.69)
1+βq
ln
1−β q
χ = f β q
. (3.70)
Ces développements asymptotiques donnent une approximation du facteur d’anisotropie f sans
dépendance enα q . Puisque le facteur d’anisotropief est fixé, il suffit d’inverser (3.69) pour obtenir
le multiplicateur β q correspondant. De plus, on cherche β q dans l’intervalle ]0,1[, il suffit alors
d’utiliser une méthode de dichotomie pour inverser (3.69).
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