Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1<br />
où la variable z est donnée par (3.63). Ces deux critères correspondent exactement aux cas où|β q |<br />
devient très proche de 1 et où la fréquence ν est très petite devant la température T , c’est-à-dire<br />
que l’on est loin du pic de la Planckienne donnée par (1.1). On introduit la variable :<br />
ζ = hν<br />
kT ,<br />
qui servira à définir numériquement si un cas est raide ou non et on note ζ q = ζ(ν q ).<br />
On teste le code sur un grand nombre de cas <strong>pour</strong> déterminer un seuil ζ min <strong>pour</strong> lequel le cas est<br />
considéré comme raide afin de choisir :<br />
<strong>avec</strong> f le facteur d’anisotropie et<br />
ζ min = min(0.5;exp(p 1 +p 2 f)),<br />
p 1 = 6.822178996548980,<br />
p 2 = −5.282761267696435.<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Pour tous les groupes q = [ν q ,ν q+1 ] tels que ζ q+1 < ζ min , on développe une nouvelle procédure<br />
<strong>pour</strong> approcher le facteur d’Eddington χ . Dans ces zones dites rai<strong>des</strong>, on peut remplacer τ,τ b et<br />
τ t par leurs développements asymptotiques respectifs en 0 :<br />
τ(z) ≃<br />
z=0<br />
= (c 1 +c 2 ln(z))z 3 +o(z 3 ),<br />
τ b (z) ≃<br />
z=0<br />
= c b 1 z2 +c 2 z 3 +o(z 3 ),<br />
τ t (z) ≃<br />
z=0<br />
= c t 1 z + c 2<br />
2 z3 +o(z 3 ),<br />
où c 1 ,c 2 ,c b 1 et ct 1 sont <strong>des</strong> constantes.<br />
En effet, dans la définition <strong>des</strong> fonctions S,S b et S t , les fonctions τ,τ b et τ t sont évaluées en D +<br />
et D − .<br />
En posant D = hνα<br />
kT , on obtient alors les approximations suivantes <strong>pour</strong> S,Sb et S t :<br />
[ ( )]<br />
S(α q ,β q ,ν) ≃ = ζ3 1+βq<br />
c 2 ln ,<br />
‖β‖=1 β q 1−β q<br />
S b (α q ,β q ,ν) ≃<br />
‖β‖=1<br />
= 2c 2ζ 3<br />
β q<br />
,<br />
S t (α q ,β q ,ν) ≃ = 2c 2ζ 3<br />
.<br />
‖β‖=1<br />
β 2 q<br />
À partir de ces approximations, on en déduit une expression <strong>pour</strong> le facteur d’anisotropie et <strong>pour</strong><br />
χ dans ces zones :<br />
f(α q ,β q ) = F q<br />
cE q<br />
= 1 β q<br />
−<br />
2<br />
( ), (3.69)<br />
1+βq<br />
ln<br />
1−β q<br />
χ = f β q<br />
. (3.70)<br />
Ces développements asymptotiques donnent une approximation du facteur d’anisotropie f sans<br />
dépendance enα q . Puisque le facteur d’anisotropief est fixé, il suffit d’inverser (3.69) <strong>pour</strong> obtenir<br />
le multiplicateur β q correspondant. De plus, on cherche β q dans l’intervalle ]0,1[, il suffit alors<br />
d’utiliser une méthode de dichotomie <strong>pour</strong> inverser (3.69).<br />
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