Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Les égalités :
Ξ(0) = 0,
π4
lim Ξ(z) =
z→+∞ 15 ,
Ξ ′ (0) = 0,
Ξ ′′ (0) = 0,
Ξ (3) (0) = 2,
permettent de fixer les coefficients d ∞ ,d 0 ,d 1 ,d 2 et d 3 .
Les coefficients restants sont calculés au sens des moindre carrés (voir Appendice 2). Pour des
raisons de coût de calcul, mais aussi de précision, on choisit de se limiter àimax = 6. La fonction
ξ s’écrit alors :
ξ(z) = π4
15 −e−z [ π
4
15 + π4
15 z + π4
30 z2 −
( 30−π
4
Avec cette approximation de Ξ, on déduit une approximation de τ :
90
τ(η) ≃ Λ(η) = η 3 ∫ η
1
)z 3 +d 4 z 4 +d 5 z 5 +d 6 z 6 ]
.
ξ(z)
z 4 dz.
Étant donnée la forme deξ, la fonction Λ est immédiatement donnée par :
Λ(η) = π4
45 (η3 −1)+ η3
3 (E 1(1)−E 1 (η))+e
(1+η −ηπ4 +
)− η2 π4
45 2 18 e−1 η 3 +d 4 η 3 (e −η −e −1 )
+d 5 η 3( e −η +ηe −η −2e −1) +d 6 η 3( 2e −η +2ηe −η +η 2 e −η −5e −1) ,
où la fonction E 1 est la première exponentielle intégrale définie par :
E 1 (x) =
∫ ∞
e −xt
1
Numériquement, on approche cette fonction par les approximations proposées par E. E. Allen,
note 169, MTAC 8, 240 (1954) et Approximations for digital computers de C. Hastings Jr, Princeton
Univ Press, 1955. (voir Appendice 2)
Une fois toutes les fonctions définies pour le calcul de E q , on peut de manière similaire, décomposer
F q et P q :
où les fonctions S b et S t sont données par :
t
dt.
1
c F q(α,β) = 15aT4 [
]
2π 4 α 4 S b (α,β,ν 2 )−S b (α,β,ν 1 ) , (3.67)
P q (α,β) = 15aT4
2π 4 α 4 [
S t (α,β,ν 2 )−S t (α,β,ν 1 ) ] , (3.68)
(
S b (α,β,ν) = τ(µ+ )
β 2 (1+β) 3 − τ(µ− ) τ b
β 2 (1−β) 3 − (µ + )
β 2 (1+β) 2 − τb (µ − )
)
β 2 (1−β) 2 ,
(
S t (α,β,ν) = τ(µ+ )
β 3 (1+β) 3 − τ(µ− ) τ b
β 3 (1−β) 3 −2 (µ + )
β 3 (1+β) 2 − τb (µ − )
)
β 3 (1−β) 2 + τt (µ + )
β 3 (1+β) − τt (µ − )
β 3 (1−β) .
Les fonctions τ b et τ t sont données par :
∫ η
τ b (η) = η 2 Ξ(z)
z 3 dz,
τ t (η) = η
1
∫ η
1
108
Ξ(z)
z 2 dz.