Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.3. Précalculs pour le modèle M 1 multigroupe
FIGURE 3.7 – Fonction Ξ
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
permet de réécrire E q comme :
E q (α q ,β q ) = 15aT4
2π 4 α 4 q
En reprenant la définition (3.63) dez(µ,ν), on obtient :
ce qui nous permet d’écrire :
µ = 1 (
1− zkT )
β q hνα q
[S(α q ,β q ,ν q+1 )−S(α q ,β q ,ν q )]. (3.65)
et
( )
1
4
(1−β q µ) 4 = hναq
,
zkT
S(α q ,β q ,ν) = h3 ν 3 α 3 q
β q k 3 T 3 ∫ µ +
µ − Ξ(z)
z 4 dz,
avec µ − = hναq
kT (1−β q) et µ + = hναq
kT (1+β q).
Finalement, S s’écrit sous la forme :
avec :
S(α q ,β q ,ν) = τ(µ+ )
β q (1+β q ) 3 − τ(µ− )
β q (1−β q ) 3,
τ(η) = η 3 ∫ η
1
Ξ(z)
dz. (3.66)
z4 L’expression de E q ainsi développée fait intervenir Ξ définie par (3.64) qui n’est pas explicite.
Cependant, on sait qu’elle est définie et infiniment dérivable sur R + ∗ (et 3 fois dérivable en 0). Sa
valeur à l’origine ainsi que son comportement à l’infini sont connus. Des méthodes d’intégration
numérique pourraient être considérées pour approcher cette fonction. Cependant, étant donné que
cette fonction apparaît un nombre considérable de fois et que ses variations sont assez régulières,
il est préférable de l’approcher par une fonction de la forme :
imax
∑
Ξ(z) ≃ ξ(z) = d ∞ −exp(z) d i z i .
107
i=0