Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Alors qu’en 1D un choix naturel <strong>pour</strong>¯κ se présentait afin de retrouver la bonne limite asymptotique,<br />
ce n’est plus le cas en dimension supérieure. En effet, si l’on veut que le schéma (3.58) discrétise<br />
l’équation de diffusion du modèle (3.57), il est nécessaire de satisfaire l’approximation suivante :<br />
1 c 2 |̺KL | 2 (<br />
∫<br />
a(T 0,n<br />
L<br />
|K| κ KL + ¯κ )4 −a(T 0,n<br />
K )4) c<br />
≃ ∇aT 4 (t n ,x,y). −→ nd̺. (3.60)<br />
KL<br />
En effet, on aura alors :<br />
∑ 1<br />
|K|<br />
L∈Γ K<br />
c 2 |̺KL | 2 (<br />
κ KL + ¯κ KL<br />
a(T 0,n<br />
L )4 −a(T 0,n<br />
3σ 0 ̺KL KL<br />
∫<br />
K )4) ≃<br />
K<br />
( ) c<br />
div<br />
3σK<br />
0 ∇(aT 4 ) dxdy.<br />
Toutefois, dans (3.60), le gradient n’est, en général, pas connu. Cependant, il peut être approché par<br />
différentes techniques. Par exemple, on notera les schémas d’ordre élevé de type DDFV [40]. L’approximation<br />
de tels gradients n’est pas abordée ici, mais la correction asymptotique développée<br />
ci-<strong>des</strong>sous peut être appliquée à d’autres <strong>systèmes</strong> dont les gradients sont correctement évalués.<br />
Si l’on pose ∇ h mat une approximation de ce gradient :<br />
∫<br />
∇ h c<br />
mat ≃ ∇aT 4 (t n ,x,y). −→ nd̺,<br />
3σ 0 ̺KL KL<br />
un choix possible <strong>pour</strong> le paramètre ¯κ KL est donné par :<br />
¯κ KL = c|̺KL|<br />
|K|∇ h mat<br />
(<br />
a(T 0,n<br />
L )4 −a(T 0,n<br />
K )4) −κ KL .<br />
En fait, on a forcé le coefficient de diffusion<br />
c du modèle <strong>pour</strong> retrouver la limite mathématique<br />
3σ 0<br />
du modèle. On remarque alors que l’on peut forcer le schéma à dégénérer non plus vers cette limite<br />
mathématique mais vers la limite physique du modèle caractérisée par la moyenne de Rosseland<br />
σ R . Ainsi, en prenant<br />
¯κ KL = c|̺KL| (<br />
∇ h phy |K| a(T 0,n<br />
L )4 −a(T 0,n<br />
K )4) −κ KL ,<br />
où ∇ h phy<br />
est une approximation du gradient :<br />
∫<br />
∇ h phy ≃ c<br />
3σ R ̺KL KL<br />
∇aT 4 (t n ,x,y). −→ nd̺,<br />
on va ainsi violer la limite mathématique du système <strong>pour</strong> retrouver la limite physique.<br />
Dans le cas particulier <strong>des</strong> maillages admissibles, c’est-à-dire où les segments c K c L sont orthogonaux<br />
aux interfaces ̺KL , une approximation naturelle <strong>des</strong> gradients normaux est donnée<br />
par :<br />
En prenant :<br />
on obtient alors<br />
∇aT 4 . −→ n KL ≃ aT4 L −aT4 K.<br />
|c K c L |<br />
∇ h phy = c<br />
3σKL<br />
R |̺KL | aT4 L −aT4 K,<br />
|c K c L |<br />
¯κ KL = 3cσKL<br />
R |̺KL |<br />
−κ KL .<br />
|K|<br />
Finalement, <strong>pour</strong> illustrer ce schéma, quelques cas-tests sont présentés <strong>pour</strong> le modèle M 1 multigroupe<br />
dans le paragraphe 5.2.<br />
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