Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Alors qu’en 1D un choix naturel pour¯κ se présentait afin de retrouver la bonne limite asymptotique,
ce n’est plus le cas en dimension supérieure. En effet, si l’on veut que le schéma (3.58) discrétise
l’équation de diffusion du modèle (3.57), il est nécessaire de satisfaire l’approximation suivante :
1 c 2 |̺KL | 2 (
∫
a(T 0,n
L
|K| κ KL + ¯κ )4 −a(T 0,n
K )4) c
≃ ∇aT 4 (t n ,x,y). −→ nd̺. (3.60)
KL
En effet, on aura alors :
∑ 1
|K|
L∈Γ K
c 2 |̺KL | 2 (
κ KL + ¯κ KL
a(T 0,n
L )4 −a(T 0,n
3σ 0 ̺KL KL
∫
K )4) ≃
K
( ) c
div
3σK
0 ∇(aT 4 ) dxdy.
Toutefois, dans (3.60), le gradient n’est, en général, pas connu. Cependant, il peut être approché par
différentes techniques. Par exemple, on notera les schémas d’ordre élevé de type DDFV [40]. L’approximation
de tels gradients n’est pas abordée ici, mais la correction asymptotique développée
ci-dessous peut être appliquée à d’autres systèmes dont les gradients sont correctement évalués.
Si l’on pose ∇ h mat une approximation de ce gradient :
∫
∇ h c
mat ≃ ∇aT 4 (t n ,x,y). −→ nd̺,
3σ 0 ̺KL KL
un choix possible pour le paramètre ¯κ KL est donné par :
¯κ KL = c|̺KL|
|K|∇ h mat
(
a(T 0,n
L )4 −a(T 0,n
K )4) −κ KL .
En fait, on a forcé le coefficient de diffusion
c du modèle pour retrouver la limite mathématique
3σ 0
du modèle. On remarque alors que l’on peut forcer le schéma à dégénérer non plus vers cette limite
mathématique mais vers la limite physique du modèle caractérisée par la moyenne de Rosseland
σ R . Ainsi, en prenant
¯κ KL = c|̺KL| (
∇ h phy |K| a(T 0,n
L )4 −a(T 0,n
K )4) −κ KL ,
où ∇ h phy
est une approximation du gradient :
∫
∇ h phy ≃ c
3σ R ̺KL KL
∇aT 4 (t n ,x,y). −→ nd̺,
on va ainsi violer la limite mathématique du système pour retrouver la limite physique.
Dans le cas particulier des maillages admissibles, c’est-à-dire où les segments c K c L sont orthogonaux
aux interfaces ̺KL , une approximation naturelle des gradients normaux est donnée
par :
En prenant :
on obtient alors
∇aT 4 . −→ n KL ≃ aT4 L −aT4 K.
|c K c L |
∇ h phy = c
3σKL
R |̺KL | aT4 L −aT4 K,
|c K c L |
¯κ KL = 3cσKL
R |̺KL |
−κ KL .
|K|
Finalement, pour illustrer ce schéma, quelques cas-tests sont présentés pour le modèle M 1 multigroupe
dans le paragraphe 5.2.
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