Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1 où δ KL est une distance relative à la cellule K qui sera fixée plus tard, H est le flux numérique donné par : H(UK n ,Un L ,−→ n KL ) = F(UK n ,Un L )nKL x +G(UK n ,Un L )nKL y , α KL est un paramètre défini par : ⎧ ⎨α KL = ⎩ α KK = 1, c ♯Γ K |K| , c ♯Γ K +κ KL |̺KL | et S K est la discrétisation du terme source donnée par : S K = c(R(U n K)−U n K). (3.53) On rappelle que le schéma (3.52) préserve les états admissibles sous la condition CFL : c∆t δ KL ≤ 1 2 . (3.54) tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 En conséquence, sous cette restriction CFL, dès que UK n et Un L dans A. On introduit ensuite des paramètres strictement positifs θ KL tels que ∑ θ KL = 1. L∈Γ K sont dans A, Un+1 K On considère alors la combinaison convexe suivante : ∑ θ KL U n+1 KL = Un K −∆t ∑ α KL H(U δ K,U n L, n −→ n KL ) KL L∈Γ K +∆t ∑ +∆t ∑ L∈Γ K θ KL L∈Γ K θ KL L∈Γ K θ KL δ KL H(U n K ,Un K ,−→ n KL ) δ KL (1−α KL ) ( S K −H(U n K,U n K, −→ n KL ) ) . est également Il reste alors à déterminer les coefficients θ KL et δ KL . On propose les définitions suivantes : δ KL = |K| ∑L∈Γ K |̺KL | > 0, (3.55) θ KL = |̺KL | ∑L∈Γ K |̺KL | > 0. On constate immédiatement que ∑ L∈Γ K θ KL = 1. De plus, on remarque la relation suivante : Ainsi, la relation (3.55) trouve l’expression suivante : θ KL δ KL = |̺KL| |K| . (3.56) ∑ θ KL U n+1 KL = Un K − ∆t ∑ |̺KL |α KL H(UK n |K| ,Un L ,−→ n KL ) L∈Γ K L∈Γ K + ∆t ∑ |̺KL | α KL H(UK n |K| ,Un K ,−→ n KL ) L∈Γ K + ∆t ∑ |̺KL | (1−α KL ) S K . |K| L∈Γ K 102
3.2. Modèle M 1 gris En tenant compte de l’expression du schéma (3.47), on obtient alors la combinaison convexe cherchée : U n+1 K = ∑ θ KL U n+1 KL . L∈Γ K La condition CFL (3.54) se réécrit alors de la façon suivante : c∆t |K| ∑ ̺∈Γ K |̺KL | ≤ 1 2 , (3.51) et assure l’admissibilité de tous les états intermédiaires U n+1 KL . PuisqueAest convexe, il en résulte que U n+1 K est encore dans l’ensemble A. De même qu’en 1D, un développement asymptotique du schéma (3.47) illustre le fait que ce schéma ne préserve pas l’asymptotique. Ainsi, dans la section suivante, on propose une correction asymptotique de ce schéma. Correction asymptotique en 2D tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 On va, à présent, introduire une correction dans le schéma (3.47) afin de préserver la bonne limite de diffusion. On rappelle que l’équation de diffusion du modèle M 1 en 2D est donnée par : ( ∂ t ρCv T +aT 4) ( c ) −div 3σ 0∇(aT4 ) = 0, (3.57) où σ 0 est définie par (3.41). On réalise un développement asymptotique du schéma (3.47) dans le régime de diffusion. En notant T 0,n K la température dans le régime de diffusion, la limite asymptotique du schéma (3.47) est donnée par : Z 0,n+1 K = Z 0,n K + ∆t ∑ c 2 |̺KL | 2 ( |K| 2 a(T 0,n κ L )4 −a(T 0,n K )4) , KL L∈Γ K avec Z = ρC v T +aT 4 . (3.58) Il est clair que ce schéma discrétise une équation de diffusion mais pour un coefficient de diffusion différent de celui attendu. En procédant de façon similaire au cas 1D, on propose alors d’introduire un paramètre ¯κ positif dans le terme source de la manière suivante : κ(R(U)−U) = κ(R(U)−U)+(¯κ− ¯κ)U = (¯κ+κ)(¯R(U)−U), pour obtenir une nouvelle formulation de la discrétisation du terme source et du paramètre α KL qui deviennent alors : c♯Γ K α KL = c♯Γ K +(κ KL + ¯κ KL ) |K| , |̺KL | κ KL S KL = c (R(UK n κ KL + ¯κ )−Un K ). KL Pour ce choix de paramètre, la limite asymptotique du schéma (3.47) devient : Z 0,n+1 K = Z 0,n K + ∆t ∑ c 2 |̺KL | 2 ( |K| 2 a(T 0,n L κ KL + ¯κ )4 −a(T 0,n K )4) , KL ̺∈Γ K avec Z = ρC v T +aT 4 . 103 (3.59)
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