Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
où δ KL est une distance relative à la cellule K qui sera fixée plus tard, H est le flux numérique
donné par :
H(UK n ,Un L ,−→ n KL ) = F(UK n ,Un L )nKL x +G(UK n ,Un L )nKL y ,
α KL est un paramètre défini par :
⎧
⎨α KL =
⎩
α KK = 1,
c ♯Γ K
|K|
,
c ♯Γ K +κ KL |̺KL |
et S K est la discrétisation du terme source donnée par :
S K = c(R(U n K)−U n K). (3.53)
On rappelle que le schéma (3.52) préserve les états admissibles sous la condition CFL :
c∆t
δ KL
≤ 1 2 . (3.54)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
En conséquence, sous cette restriction CFL, dès que UK n et Un L
dans A.
On introduit ensuite des paramètres strictement positifs θ KL tels que
∑
θ KL = 1.
L∈Γ K
sont dans A, Un+1
K
On considère alors la combinaison convexe suivante :
∑
θ KL U n+1
KL = Un K −∆t ∑
α KL H(U
δ
K,U n L, n −→ n KL )
KL
L∈Γ K
+∆t ∑
+∆t ∑
L∈Γ K
θ KL
L∈Γ K
θ KL
L∈Γ K
θ KL
δ KL
H(U n K ,Un K ,−→ n KL )
δ KL
(1−α KL ) ( S K −H(U n K,U n K, −→ n KL ) ) .
est également
Il reste alors à déterminer les coefficients θ KL et δ KL . On propose les définitions suivantes :
δ KL =
|K|
∑L∈Γ K
|̺KL | > 0,
(3.55)
θ KL =
|̺KL |
∑L∈Γ K
|̺KL | > 0.
On constate immédiatement que ∑ L∈Γ K
θ KL = 1. De plus, on remarque la relation suivante :
Ainsi, la relation (3.55) trouve l’expression suivante :
θ KL
δ KL
= |̺KL|
|K| . (3.56)
∑
θ KL U n+1
KL = Un K − ∆t ∑
|̺KL |α KL H(UK n |K|
,Un L ,−→ n KL )
L∈Γ K L∈Γ K
+ ∆t ∑
|̺KL | α KL H(UK n |K|
,Un K ,−→ n KL )
L∈Γ K
+ ∆t ∑
|̺KL | (1−α KL ) S K .
|K|
L∈Γ K
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