Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

3.2. Modèle M 1 gris
À présent, on montre brièvement la consistance de ce schéma (3.47) avec le système d’équations
(3.46). On se place dans le cas d’un maillage régulier. En notantr K le rayon du cercle inscrit
dans la maille K, on suppose que la limite suivante est toujours satisfaite :
|K|
lim
r K →0 |̺KL | = 0.
On en déduit immédiatement que la limite du paramètre α KL quand r K tend vers 0 est :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
lim α KL = 1.
r K →0
De plus, par application de la formule de Green, on a :
∑
L∈Γ K
|̺KL |H(U n K ,Un K ,−→ n KL ) = 0.
Il en résulte que la partie hyperbolique du schéma (3.47) est consistante avec la partie hyperbolique
du système (3.46). Concernant le terme source, on établit la consistance dans le cas particulier κ
constant.
Lemme 3.2.2. On suppose que κ KL > 0 est une constante donnée. La discrétisation du terme
source introduite (3.48) est consistante avec le terme source du système (3.46) au sens suivant :
lim S K = κ KL (R(U K )−U K ).
r K →0
Démonstration. En remplaçant α KL par sa valeur dans (3.48), on obtient :
S K = cκ KL (R(U K )−U K ) ∑
L∈Γ K
1
c♯Γ K +κ KL
|K|
|̺KL |
En calculant la limite quand le rayon du cercle inscrit r K tend vers 0, on a :
∑ 1
lim
= 1
r K →0
|K|
L∈Γ K
c♯Γ K +κ KL
c .
|̺KL |
Finalement, on en déduit que :
lim S K = κ KL (R(U K )−U K ).
r K →0
La discrétisation S K du terme source dans le schéma (3.48) est donc consistante avec le terme
source du système d’équations (3.46).
Il est également possible d’établir la robustesse du schéma (3.47). Pour cela, on montre dans
le lemme suivant que le schéma (3.47) s’écrit comme une combinaison convexe de schémas 1D
donnés dans la direction normale de l’interface ̺KL .
Lemme 3.2.3. Le schéma (3.47) peut s’écrire comme une combinaison convexe de schémas 1D
(3.40) écrits dans la direction normale à l’interface ̺KL . De plus, sous la condition CFL (3.51),
le schéma (3.47) préserve les états physiquement admissibles.
Démonstration. SoitU n+1
KL
, un état intermédiaire donné par le schéma 1D (3.40) dans la direction
de l’interface ̺KL de la manière suivante :
U n+1
KL = Un K − ∆t
δ KL
(
αKL H(U n K ,Un L ,−→ n KL )−α KK H(U n K ,Un K ,−→ n KL ) )
+ ∆t
δ KL
[
(1−αKL ) ( S K −H(U n K ,Un K ,−→ n KL ) ) +(1−α KK ) ( S K +H(U n K ,Un K ,−→ n KL ) )] ,
101
(3.52)