Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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CHAPITRE 3. ÉTUDE DES MODÈLES M 1
K
L
−→ n
KL
c L
̺KL
c K
FIGURE 3.6 – Géométrie du maillage non-structuré.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
On propose alors une extension 2D du schéma (3.40). En conséquence, sur la maille K, la mise à
jour de la solution à la date t n+1 sera donnée par :
U n+1
K
= Un K − ∆t
|K|
∑
L∈Γ K
|̺KL | α KL H(U n K,U n L, −→ n KL )
+ ∆t ∑
(3.47)
|̺KL | α KL H(UK n |K|
,Un K ,−→ n KL )+∆tS K
L∈Γ K
où S K est une discrétisation du terme source définie par :
S K = c
|K|
∑
|̺KL | (1−α KL )(R(UK n )−Un K ), (3.48)
L∈Γ K
et H(UK n,Un L ,−→ n KL ) est le flux numérique dans la direction normale à l’interface ̺KL donné
par :
H(UK,U n L, n −→ n KL ) = F(UK,U n L)n n KL
x +G(UK,U n L)n n KL
y . (3.49)
en notant F et G les flux HLL associés respectivement àF et G.
Le paramètreα KL , initialement donné en 1D par (3.39), est à présent étendu au cas 2D de la façon
suivante :
c♯Γ K
α KL = , (3.50)
|K|
c♯Γ K +κ KL |̺KL |
où ♯Γ K désigne le nombre de segments formant la maille K.
De même, une extension de la condition CFL est donnée par :
c∆t
|K|
∑
L∈Γ K
|̺KL | ≤ 1 2 . (3.51)
Cette CFL trouvera une signification précise dans le lemme 3.2.3.
Remarque 2. Comme en 1D, l’équation matière sur la température n’est couplée au système que
via le terme source. On suppose de nouveau que dans la partie hyperbolique, la température est
constante durant un pas de temps∆t :
T n+1
i
= T n
i .
En conséquence, la composante correspondant à la température dans le flux H est nulle.
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