Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

INTRODUCTION
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Parmi ces alternatives, on se concentrera sur un modèle aux moments dans lequel le rayonnement
est décrit par les premiers moments de l’intensité radiative. Soulignons dès à présent que
les variables des modèles aux moments définissent les grandeurs caractéristiques permettant d’appréhender
les phénomènes physiques étudiés. De plus, dans les configurations pertinentes dans
cette étude, ces modèles donnent généralement une approximation très satisfaisante de l’équation
du transfert radiatif. En particulier, ils préservent les propriétés fondamentales du rayonnement.
Si les moments “gris” (intégrés sur toutes les fréquences) suffisent souvent à une bonne description
du rayonnement dans des solides, ce n’est plus le cas dans les gaz. Il est alors nécessaire
de considérer une modélisation moins frustre en fréquence et ainsi d’introduire des modèles dits
“multigroupes” (intégrés sur des intervalles de fréquences). Cette décomposition a l’avantage de
permettre un couplage local (en fréquence) avec un modèle cinétique pour des fréquences particulièrement
importantes.
L’objectif de cette thèse est de proposer des schémas d’approximation pour ces deux niveaux
de modèles : modèle cinétique et modèle aux moments. Concernant les modèles cinétiques, lorsque
le rayonnement doit être couplé à la matière, les simulations doivent être conduites sur des temps
extrêmement longs relativement aux vitesses caractéristiques mises en jeu. Ceci implique le développement
de schémas d’ordre très élevé sans restriction sur le pas de temps. Dans un second
temps, on s’attache à améliorer l’efficacité des techniques d’approximation utilisées pour les modèles
aux moments. En particulier, les méthodes proposées garantissent la préservation de régimes
asymptotiques naturels pour les régimes considérés, y compris sur des maillages 2D non-structurés.
L’ensemble de ces travaux a conduit à introduire des extensions pour la radiothérapie. En effet,
sous certaines conditions, la radiothérapie peut être vue comme une application spécifique du
transfert radiatif.
Plan de la thèse
Premier chapitre : le transfert radiatif
Dans ce chapitre, on présente le concept physique du transfert radiatif ainsi que différents modèles
utilisés pour le décrire. On détaille les conditions particulières considérées dans cette étude pour
l’approximation numérique de ce phénomène. On écrit alors l’équation du transfert radiatif (ETR)
régissant l’évolution de l’intensité radiative dans ce contexte. Après avoir étudié les régimes limites
(transport et diffusion) de cette équation, on s’intéresse aux différentes possibilités de modélisation.
Dans un premier temps, on introduit le modèle cinétique d’ordonnées discrètes S N . Ce
modèle directionnel consiste à considérer un nombre discret N de directions de la sphère unité
pour approcher l’intégrale en direction par une méthode de quadrature. En rappelant qu’un des
avantage du transfert radiatif est de pouvoir traiter séparément la fréquence et la direction, on propose
une discrétisation fréquentielle en bandes étroites. Ce modèle, très précis, pourra alors être
utilisé lorsqu’une approximation très fine de la solution est nécessaire. Dans un second temps, on
présente des modèles portant sur les variables macroscopiques. En particulier, on s’intéresse dans
ce travail aux modèles aux deux moments M 1 gris et sa variante multigroupe. En calculant les
deux premiers moments de l’ETR, sur toutes les fréquences pour le cas gris et sur des groupes de
fréquences pour le cas multigroupe, on obtient des systèmes impliquant les trois premiers moment
de l’intensité radiative et faisant intervenir des moyennes d’opacités. Pour fermer ces systèmes,
on utilise un principe de minimisation d’entropie qui permet à la fois de préserver de nombreuses
propriétés physiques de l’ETR et d’avoir une bonne approximation des moyennes d’opacités. Ces
modèles hyperboliques donnent une bonne approximation de la solution avec un coût de calcul
raisonnable. Par ailleurs, deux autres modèles sont proposés : le modèle d’harmoniques sphériques
qui consiste à décomposer l’intensité radiative dans la base des polynômes de Legendre et un modèle
de diffusion à flux limité qui est basé sur la limite diffusive de l’ETR.
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