EXERCICES :

EXERCICES :
1. Dans la conduite de toute expérience planifiée selon les principes statistiques on suppose
la présence d'une erreur expérimentale car
a. il y a une possibilité de faire une erreur dans l'exécution d'un essai ;
b. les appareils de mesure ne donnent pas toujours des valeurs justes ;
c. l'erreur est humaine et il faut toujours se préparer en conséquence ;
d. il est difficile de tout contrôler dans une expérience ;
e. aucune des réponses ci - haut
2. Donnez une définition de l'erreur expérimentale.
3. Précisezune méthode qui permet de détecter directement la présence de l'erreur expérimentale
d'une variable de réponse Y en présence de plusieurs variables facteurs contrôlés X1, X2, …, Xk.
4. Pour évaluer et séparer les effets de plusieurs variables (facteurs) sur une variable de réponse
(output) d'un processus on peut employer plusieurs types de design (plan) expérimental pour
les essais. Voici trois plans avec tous les facteurs varient à 2 modalités.
A: un plan factoriel fractionnaire où l'on fait varier un seul facteur à la fois d'un essai à l'autre ;
B: un plan factoriel fractionnaire où l'on fait varier plusieurs facteurs d'un essai à l'autre en
s'assurant que chaque facteur est présent le même nombre de fois sur l'ensemble des essais;
C: un plan factoriel complet ;
Commentez les avantages et inconvénients de chaque design expérimental.
5. Définir une stratégie expérimentale pourétudier et optimiser la variable de réponse (sortie)
d'un processus avec de nombreux (au moins cinq) variables d'entrée contrôlées. Votre stratégie
doit tenir en compte les critères suivants :
- un seul plan global pour les deux étapes ou une autre alternative à préciser ;
- un plan pour l'identification des facteurs critiques et le nombre de modalités de chaque
facteur ;
- un plan pour l'optimisation avec les facteurs critiques seulement et le nombre de modalités
de chaque facteur ;
Préciser les avantages de votre stratégie. Votre stratégie comporte t-elle des inconvénients ?
Précisez.
6. Un plan factoriel complet avec trois facteurs A, B, C chacun variant à deux modalités (- et +)
a été réalisé pour étudier leurs effets sur une variable de réponse Y. Le plan a été répété une
autre fois. Répondez aux questions suivantes et justifier.
a. Combien de traitements distincts sont présents dans cette expérience ?
b. Combien d'essais on été réalisés ?
c. Préciser l'avantage et l'inconvénient d'avoir répété le plan.
d. Quelle serait votre stratégie pour le choix des modalités de chaque facteur ?
e. Faites la liste de tous les effets que l'on peut estimer.
6. (suite)
f. Donnez le nom d'une méthode statistique graphique avec laquelle on peut visualiser les
résultats des essais; précisez les critères de votre méthode qui permet de s'assurer que
l'expérience a été une réussite. Précisez le sens de ce que vous entendez par réussite.
g. Donnez le nom de la méthode statistique principale avec laquelle les résultats observés de Y
seront analysés; comment s'appelle la synthèse numérique de cette analyse ? Précisez les
principaux éléments de cette analyse.
h. L'erreur expérimentale est estimée avec combien de degrés de liberté
avec la méthode (g) ? Donnez la formule pour le calcul de cette estimation.
i. La méthode statistique proposée en (f) permet t -elle d'estimer l'erreur expérimentale ?
Donnez la formule pour le calcul de cette estimation.
j. Supposons que le test F montre que l'effet d'interaction de A et B est statistiquement
significatif. Expliquez en mots et illustrer graphiquement.
k. Scénario 1 : l'analyse statistique montre que les facteurs A, B, C n'ont aucun
effet significatif sur Y dans l'espace expérimental considéré.
- k1 Décrire le comportement du graphique qui a été proposé à la question (f)
- k2 Proposer une équation de prédiction pour la réponse Y
- k3 Proposer un objectif possible de l'expérience qui permettrait de conclure
que l'expérience est unéchec.
- k4 Proposez un objectif possible de l'expérience qui permettrait de conclure
que l'expérience est unsuccès.
L. Scénario 2 : l'analyse statistique montre que
- la moyenne générale de tous les essais est de 100
- l'erreur expérimentale estimée (sigma) est de 2
- le facteur A possède un effet principal significatif de -20
- le facteur B possède un effet principal significatif de 10
- l'effet d'interaction de A et B est non significatif
- le facteur C est inerte :
. pas d'effet principal significatif,
. pas d'effet d'interaction significatif avec A
. pas d'effet d'interaction significatif avec B.
-L1 Décrivez le comportement graphique global de la réponse avec la méthode
proposée à la question (f). (l'allure seulement, pas de valeurs numériques).
-L2 Après cette analyse, comment pourrait-on décrire un rôle statistique joué par
le facteur C ?
-L3 Illustrez graphiquement l'allure de la réponse Y en fonction des facteurs A et B:
placer le facteur A sur l'axe des X .
- L4 Si on veut maximise r Y quel serait votre choix pour A et B ? Quel serait votre
la valeur de la prédiction de Y ? Quelle serait une recommandation pour le
choix de C et précisez votre critère.
- L5 Si on veut contrôler Y à une valeur cible de 80, quelle serait votre recommandation
pour les modalités des facteurs A, B, C ?

7. Lors de l’exécution d’un plan factoriel complet avec 3 facteurs A, B, C, variant à 2
modalités (- et +), l’essai numéro 5 n’a pas pu être à cause d’un bris d’éq uipement.
La réparation prendra plusieurs jours et vous devez fournir les conclusions de l’analyse
demain. Le tableau résume l’état de la situation.
essai A B C Réponse : Y
1 - - - 189
2 - - + 228
3 - + - 218
4 - + + 259
5 + - - Y5 manquante
6 + - + 200
7 + + - 238
8 + + + 241
a) Une estimation de Y5
basée sur l’hypothèse que l’interaction ABC est nulle et donne
199. Justifiez le résultat. Quel principe a été employé ?
b) Complétez l’analyse des effets et développez une équation de prédiction de
où
yˆ
= βˆ
0
x
+ βˆ
x + βˆ
x + βˆ
x
1 A 2 B 3
+ βˆ
x x + βˆ
x x
5
A
A
+
B
C
C
6
B
C
C
+ βˆ
± 1 , x = ± 1, x = ± 1
8. Un ingénieur veut étudier l’effet de 8 facteurs A, B, C, D, E, F, G, H d’un procédé sur
une caractéristique de qualité Y . Il décide de faire varier chaque facteur à 2 modalités
8 4
et d’employer un plan de 16 essais 2 − de résolution IV. Le plan sera défini de la manière
suivante :
- A, B, C, D en plan factoriel complet de 16 essais
- E, F, G, H avec des interactions triples de type XXX définies avec les facteurs A, B, C, D
et
E = ABC ou E = -ABC
(*)
F = ACD ou F = -ACD
Le procédé présente 2 restrictions pour les combinaisons suivantes :
. A, B, C et E ne peuvent pas prendre simultanément les modalités -
. .A, C, D et F ne peuvent pas prendre simultanément les modalités +
4
x
A
x
B
8. (suite)
8 4
a) Définissez le plan 2 − afin de satisfaire les restrictions ci haut.
Écrire E, F, G, H en terme des interactions triples de A, B, C, D en respectant (*)
b) Complétez les colonnes E, F, G, H
Contraste C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8
facteur A B C D E F G H
essai 1 - - - -
2 - - - +
3 - - + -
4 - - + +
5 - + - -
6 - + - +
7 - + + -
8 - + + +
9 + - - -
10 + - - +
11 + - + -
12 + - + +
13 + + - -
14 + + - +
15 + + + -
16 + + + +
b) Serait-il utile de faire suivre ce premier plan par un deuxième plan défini par une
réflexion complète du premier plan? Justifiez votre réponse.
d) Calculer le nombre total d'interactions doubles (AB, AC,…). Est -il possible de séparer
tous les effets principaux et toutes ces interactions avec un plan de 32 essais ? Justifiez.
9. On veut conduire une série d’essais (tests) pour étudier le comportement d’un procédé de
fabrication d’un polymère. On a identifié 4 facteurs (X1, X2, X3, X4) contrôlables
susceptibles d’influencer deux caractéristiques qualité du polymère:
Y1 : poids moléculaire du polymère
Y2 : viscosité du polymère
Des cartes de contôle à valeurs individuelles et étendues mobiles XmR pour Y1 et Y2
démontrent un état de contrôle statistique aux conditions actuelles d’opération.
Les facteurs et leur domaine de variation .
Facteur unité intervalle de variation
X1 : durée minute 1 à 2
X2 : température deg. C 100 à 120
X3 : vitesse d’alimentation m / heure 5 à 8
X4 : pression atm. 3.0 à 4.2

9. (suite)
a) Si on fait varier les deux premiers facteurs X1, X2 avec 3 modalités (valeurs) et X3, X4
avec 4 modalités, combien d’essais sont nécessaires si on ne fait pas de répétition ?
b ) On vous consulte sur le projet de réaliser un design factoriel complet selon (a).
Quel serait votre recommandation ?
c) Proposer deux plans (designs) conçus statistiquement en choisissant de faire varier les 4
facteurs avec 2 modalités seulement. Les deux designs devront avoir le même nombre
total d'observations. Pour chaque plan, définir tous les essais et préciser les modalités
prises pour chacun des facteurs. Employez la notation + et – et préciser la
correspondance de ces symboles avec les valeurs réelles de chaque facteur. Comparez
les avantages et les inconvénients de chaque plan et faites une recommandation sur le
choix d'un plan.
d) Quelle est l'utilité de démontrer la stabilité d'un procédé avec des cartes de contrôle avant
d' entreprendre un projet d'expérimentation avec un procédé ?
e) Une analyse de corrélation entre les deux variables de réponse Y1 et Y2 démontre une
forte corrélation négative de l'ordre de - 0.96. Le diagramme de dispersion conjointe
valide cette interprétation. On réalise l'analyse de la variabilité pour la réponse Y1.
Il ressort que seule la variable X3 affecte Y1 et que son effet principal est négatif.
Est-il possible de prévoir ce que l'analyse de la variabilité révèlera pour Y2 ? Si oui,
quel sera le résultat ? Sinon, expliquez pourquoi.
10. Un ingénieur de procédé veut étudier l’effet de 4 facteurs A, B, C, D sur la force Y
du lien entre un circuit intégré et un substrat métallique sur lequel il est déposé.
Il décide de conduire un plan d’expérimentation fractionnaire de 8 essais défini
par D = ABC où chaque facteur varie à 2 modalités tel que défini dans le tableau 1.
tableau 1: facteurs, modalités et augmentation du coût
lettre Définition unité
modalités (1)
– +
augmentation
coût (2)
A type d’adhésif --- D2 A H3 E - 10%
B matériau conducteur --- cuivre nickel + 10%
10. (suite)
Il décide de répliquer le plan 5 fois. Le tableau 2 représente le design expérimental,
le résultat des essais et plusieurs calculs préliminaires.
tableau 2: plan d’essais et résultats
Facteurs Réponses Statistiques
Essai A B C D Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 YBAR LOG SB
1 - - - - 73.0 73.2 72.8 72.2 76.2 73.48 0.45 37.32
2 - - + + 87.8 86.4 86.9 87.9 86.4 87.08 -0.31 38.80
3 - + - + 80.5 81.4 82.6 89.3 82.1 83.18 1.26 38.38
4 - + + - 79.8 77.8 81.3 79.8 78.2 79.38 0.34 37.99
5 + - - + 85.2 85.0 80.4 85.2 83.6 83.88 0.72 38.47
6 + - + - 78.0 75.5 83.1 81.2 79.9 79.54 1.07 38.00
7 + + - - 78.4 72.8 80.5 78.4 67.9 75.60 1.64 37.52
8 + + + + 90.2 87.4 92.9 90.0 91.1 90.32 0.69 39.11
y
1
y =
5
1
y
2
, y3,
y4
,
, y
5
∑
i=
1
y = Y BAR
5
⎡1
s = ⎢ ∑ ( y i − y)
⎣4
i = 1
1
2
1
2
⎤
⎥
⎦
5
moyenne 81.56 0.73 38.20
: résultats des réplications
: moyenne de l’essai
: écart type de l’essai
LOG ( S )
: log naturel de s (base e)
5
⎛ 1
SB = −10 log
10
⎜ ∑
⎝ 5 i=
1
−2
y i
⎞
⎟
⎠
: rapport signal-bruit de Taguchi
L’objectif de l’étude est de formuler une recommandation d’opération afin de maximiser la
force y tout enminimisant la variabilité de y . L’analyse des coûts sera tenu en compte
seulement à la question (C). Le tableau 3 présentel’analyse de la variance pour chacune
des trois réponses : y , log( s)
et SB .
C temps de cuisson minute 90 120 + 10%
D
recouvrement après
cuisson
--- étain argent
- 5%
remarques : (1) les modalités actuelles d’opération du procédé sont
A =– B =– C = – D = –
(2) représente l’augmentation du coût si l’on change la modalité de – à +

tableau 3: analyse de la variance
y log( s)
SB
FACTEURS
Modalités A B C D y bar s essai
effet ddl βˆ SS βˆ SS βˆ SS
A 1 0.78 24.18 0.30 0.72 0.07 0.04
B 1 0.56 12.66 0.25 0.50 0.05 0.02
C 1 2.52 254.52 -0.28 0.65 0.27 0.61
D 1 4.56 830.83 -0.14 0.16 0.49 1.93
AB + CD 1 0.06 0.16 -0.11 0.11 -0.01 0.00
AC + BD 1 0.07 0.21 0.13 0.14 0.00 0.00
AD + BC 1 0.21 1.72 -0.18 0.27 0.02 0.00
intra 32 -- 243.10 -- -- -- --
total 39 -- 1367.38 -- 2.54 -- 2.62
R 2 = 0.82 σ 2 = 7. 60
Actuelles - - - - 73.48 1.57 1
Maximum de y
Minimum de s
Maxy et min s
Variation coût total =
% augmentation de y =
SS : somme de carré,
βˆ : coeff. de régression de l'équation de prédiction
% diminution de s =
A) Analyse de y
i) Identifiez les contrastes significatifs au seuil de 5% et les facteurs critiques qui en résultent.
Remarque: la valeur critique à 5 % d'une distribution de Fisher F 1,32 est de 4.15
ii) Écrire une équation de prédiction de la force y basée seulement sur les effets significatifs
identifiés en (i).
iii) Calculez la force maximale atteinte ŷmax
avec cette équation.
iv) Quelle est l’augmentation (en %) de la force en (iii ) si on la compare avec la force des
conditions actuelles d’opération de l’essai no 1?
v) Quelle serait votre recommandation pour le choix des modalités des facteurs A, B, C, D
afin de maximiser la force en vous basant sur cette équation?
Remarque : il y a plusieurs solutions qui seront utilisées pour la question (D).
B) Analyse de LOG (S)
i) Quels sont les trois principaux facteurs qui contribuent le plus à la variabilité de s ?
ii) À quelles modalités des facteurs A, B, C, D faudrait-il opérer afin de minimiser le plus
la variabilité du procédé? Il y a deux solutions basées sur les trois principaux facteurs.
Ces deux solutions seront utilisées à la question (C).
C) Analyse du rapport signal bruit SB
Effectuer l'analyse du rapport signal bruit.
D) Recommandation finale
En vous basant seulement sur les analyse de y et de log( s ) , proposer une recommandation
finale sur le choix des modalités d’opération du procédé. Quelle sera alors l’augmentation
(ou la diminution) sur le coût d’opération? Quelle sera l’augmentation (%) de y ?
Quelle sera la diminution (%) de s ? Répondre à cette question en complétant le tableau.
11. Montrer comment transformer la matrice de 8 essais M (8 x 7) de trois facteurs A, B, C,
chacun variant à 2 modalités - et +
colonne 1 2 3 4 5 6 7
essai A B C AB AC BC ABC
1 - - -
2 - - +
3 - + -
4 - + +
5 + - - à compléter M
6 + - +
7 + + -
8 + + +
afin d'obtenir la matrice de base de 8 essais W (8 x 7) dans les notes de cours.
Colonne 1 2 3 4 5 6 7
Essai C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
1 - - - - - - -
2 - - - + + + +
3 - + + + + - -
4 - + + - - + +
5 + + - - + + - W
6 + + - + - - +
7 + - + + - + -
8 + - + - + - +

12. Une étude a été réalisé afin de déterminer l'influence de 7 facteurs sur la productivité
des employés effectuant des opérations manuelles. La variable de réponse Y est le temps
(secondes) requis pour accomplir une tache. Les facteurs de l'étude sont :
modalité
facteur - +
A présence surveillant non oui
B sexe de l'employé homme femme
C période journée matin fin après-midi
D température pièce 19 24
E musique ambiance non oui
F age employé moins 25 plus 25
G localisation usine Montréal Québec
Les résultats de l'étude furent obtenus avec un plan factoriel fractionnaire de 16 essais.
La valeur de Yest la moyenne obtenue pour un groupe de 25 employés.
ESSAI A B C D E F G Y
1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 21.86
2 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 41.10
3 -1 1 -1 -1 1 1 1 48.65
4 1 1 -1 1 -1 -1 1 13.46
5 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 52.27
6 1 -1 1 1 1 1 1 45.68
7 -1 1 1 1 -1 1 -1 35.79
8 1 1 1 -1 1 -1 -1 59.51
9 1 1 1 -1 -1 1 1 49.98
10 -1 1 1 1 1 -1 1 43.70
11 1 -1 1 1 -1 -1 -1 34.67
12 -1 -1 1 -1 1 1 -1 58.84
13 1 1 -1 1 1 1 -1 24.89
14 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 41.02
15 1 -1 -1 -1 1 -1 1 48.26
16 -1 -1 -1 1 -1 1 1 14.46
Moyenne 39.63
Interactions confondues
AB = CD = EF AC = BD = FG AD = BC = EF AE = BG = DF
AF = CG = DE AG = BE = CF BF = CE = DG
é
12. (suite)
tableau d'analyse de la variance
Source SS DF MS F P effet ( beta x 2)
(1)A .06 1 .06 .14 .77 0.118
(2)B .00 1 .00 .00 .96 - 0.018
(3)C 1004.24 1 1004.24 2569.65 .01 15.845
(4)D 1704.01 1 704.01 4360.21 .01 -20.640
(5)E 294.52 1 294.52 753.61 .02 8.581
(6)F 1.34 1 1.34 3.44 .31 0.579
(7)G .09 1 .09 .23 .71 -0.151
1 par 2 118.88 1 118.88 304.19 .04 -5.452
1 par 3 .38 1 .38 .97 .50 -0.308
1 par 4 1.46 1 1.46 3.72 .30 0.603
1 par 5 5.79 1 5.79 14.82 .16 1.203
1 par 6 2.95 1 2.95 7.54 .22 0.858
1 par 7 1.19 1 1.19 3.04 .33 -0.545
2 par 6 .13 1 .13 .32 .67 -0.177
Erreur .39 1 .39 ----- ----- ------
Total 3135.43 15 ----- ----- -----
Répondez aux questions suivantes.
a. Interpréter les résultats de l'étude en précisant de combien chaque facteur affecte
la durée d'exécution de la tâche. Proposer une équation de prédiction.
b. Calculer le pourcentage de variation expliqué (R 2 ).
c. Tracer le graphique de l'interaction entre les facteurs C et D.
d. Proposer une recommandation en vue de minimiser le temps d'exécution.
e. Quelle est l'estimation de l'erreur expérimentale ?
f. Si on tient compte uniquement des facteurs clés identifiés par cette étude,
comment pourrait - on décrire le design expérimental initial de 16 essais ?