Inégalité de Caccioppoli - DSpace

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Dédicaces Ma toute première pensée va à ma très chère maman. Elle est aussi mon amie et ma confidente. Elle m’a tout appris et elle continue encore de le faire. Je l’ai toujours écoutée. J’en suis très fière. Puisse Dieu te prêter longue vie avec beaucoup de bonheur et de santé. A mon trés cher papa. Mon repère, mon guide et mon symbole de l’abnégation au travail. Il m’a toujours couvert de tendresse. Puisse Dieu lui prêter longue vie ! A mes frères bien-aimés, Mohammed Yassine et Aness Chihabeddine, à qui je souhaite plein de réussite dans leur travail et leurs études. A celui qui est tout prés mais loin, loin mais tout prés, mon trés cher Salim. A toute ma famille et tous mes amis. 3
Notations – N est un entier, Ω ⊂ R N est un ensemble ouvert borné, de frontière ∂Ω – X un espace de Banach de norme || || et X’ son dual. – H un espace de Hilbert. – < , > la paire de H avec son dual – L p (Ω) est l’espace de fonctions mesurables u : Ω → R avec la norme finie : (∫ ) 1 ||f|| L p (Ω) = |f(x)| p p dx , 1 ≤ p < ∞ Ω L ∞ (Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et ∃ une constante C telle que|f(x)| ≤ C p.p sur Ω} ||f|| L ∞ (Ω) = ess sup x∈Ω |u(x)| – Si x, y ∈ R N alors x.y est le produit scalaire dans R N , i.e : – Si x = (x 1 , ..., x N ), et y = (y 1 , ..., y N ) , alors ( ∑ N – Si x ∈ R N , |x| = x 2 i i=1 ) 1 2 . x.y = N∑ x i y i ∑ – m = (m 1 , m 2 , .., m N ) ∈ N N est un multi-indice , et m = N m i . ∇ m := ∂ m ∂x m 1 1 ...∂x m N N – B (x, r) = {y ∈ Ω ; ||x − y|| < r} est la boule ouverte de rayon r dans Ω – u : Ω → R une fonction, alors i=1 ( ) T ∂u ∂u ∇u = , · · · , , son gradient et ∂x 1 ∂x N ∑ △u = n ∂ 2 u = div(∇u) son laplacien i=1∂x 2 i i=1
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Bibliographie [1] F. Bethuel , Equa
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