Inégalité de Caccioppoli - DSpace
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République Algérienne Démocratique et Populaire<br />
Université Abou Bekr Belkaïd - Tlemcen<br />
Faculté <strong>de</strong>s Sciences<br />
Département <strong>de</strong> Mathématiques<br />
Projet <strong>de</strong> fin d’étu<strong>de</strong>s pour l’obtention du diplôme <strong>de</strong> Master<br />
.<br />
Option : Equations aux Dérivées partielles et Applications<br />
Sur le Thème :<br />
Régularité <strong>de</strong>s Solutions d’EDPs<br />
Elliptiques :<br />
<strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong><br />
Présenté par :<br />
M elle Ghaffour Imène<br />
Soutenu <strong>de</strong>vant le jury composé <strong>de</strong> :<br />
M r M. Bouchekif Professeur à l’UABB-Tlemcen Prési<strong>de</strong>nt<br />
M r B. Ab<strong>de</strong>llaoui Maître <strong>de</strong> conférences à l’UABB-Tlemcen Examinateur<br />
M r A. Bensedik Maître assistant à l’UABB-Tlemcen Examinateur<br />
M r B. Messirdi Maître assistant à l’UABB-Tlemcen Encadreur<br />
Année universitaire : 2010 − 2011
Remerciements<br />
Je remercie Allah <strong>de</strong> m’avoir donné la foi, la volonté et le courage pour<br />
accomplir ce travail.<br />
Je tiens à adresser mes meilleurs remerciements à mon maitre, le professeur<br />
M. BOUCHEKIF pour le savoir qu’il a toujours su me transmettre, le<br />
long <strong>de</strong> mon cursus <strong>de</strong> formation en master <strong>de</strong> mathématiques.<br />
Il l’a tout aussi fait pour mes camara<strong>de</strong>s <strong>de</strong> promotion et pour cela, nous<br />
en sommes les témoins autant que le fruit <strong>de</strong> ses efforts.<br />
Il l’a fait en maitre, avec mo<strong>de</strong>stie et compétence, humilité et brio et surtout<br />
avec aisance et clarté autrement dit, il l’a fait en pédagogue avéré.<br />
En ce qui me concerne, monsieur BOUCHEKIF a été à l’origine <strong>de</strong> la<br />
proposition du sujet <strong>de</strong> mémoire que je présente aujourd’hui et au cours duquel,<br />
il a souvent intervenu pour apporter les ajustements adéquats. C’est<br />
bien grâce à lui que ce travail a gagné en cohérence.<br />
Je tiens à le remercier tout aussi vivement pour m’avoir fait l’honneur <strong>de</strong><br />
prési<strong>de</strong>r ce jury.<br />
Quoi <strong>de</strong> mieux que d’exprimer ma gratitu<strong>de</strong> et ma reconnaissance à<br />
l’égard <strong>de</strong> mon encadreur, monsieur B.MESSIRDI, qui a su me conduire<br />
à développer ce travail.<br />
Je le remercie aussi pour ses encouragements.<br />
Mes plus vifs remerciements s’adressent à monsieur B. ABDELLAOUI,<br />
pour avoir accepté <strong>de</strong> juger ce travail. Il le fera, j’en suis convaincue, avec<br />
beaucoup d’attention et <strong>de</strong> rigueur. A son propos, on ne peut, ne peut pas<br />
se souvenir <strong>de</strong> la qualité <strong>de</strong>s cours qu’il nous prodiguait et <strong>de</strong> l’aisance avec<br />
1
laquelle il manipulait les concepts, les simplifiait et les transmettait après les<br />
avoir débarrassés <strong>de</strong> toutes difficultés et zones d’ombre.<br />
Je tiens aussi à remercier monsieur A. BENSEDIK d’avoir accepter d’examiner<br />
ce travail. je lui en suis très reconnaissante.<br />
Ma très haute considération va à monsieur B. Mebkhout, notre chef <strong>de</strong><br />
département pour avoir, et sincèrement toujours été à l’écoute <strong>de</strong>s étudiants,<br />
leur facilitant du mieux qu’il pouvait, le déroulement normal <strong>de</strong> leurs cursus<br />
<strong>de</strong> formation. Par ailleurs, ses capacités pédagogiques ne peuvent passer inaperçus<br />
aux yeux <strong>de</strong> tous les étudaints qu’il a eu à enseigner. On se disait<br />
tous entre nous :"’ tu vois ! tu n’n’as pas besoin <strong>de</strong> revoir son cours après lui,<br />
pour le comprendre".<br />
2
Dédicaces<br />
Ma toute première pensée va à ma très chère maman. Elle est aussi mon<br />
amie et ma confi<strong>de</strong>nte. Elle m’a tout appris et elle continue encore <strong>de</strong> le faire.<br />
Je l’ai toujours écoutée. J’en suis très fière.<br />
Puisse Dieu te prêter longue vie avec beaucoup <strong>de</strong> bonheur et <strong>de</strong> santé.<br />
A mon trés cher papa. Mon repère, mon gui<strong>de</strong> et mon symbole <strong>de</strong> l’abnégation<br />
au travail. Il m’a toujours couvert <strong>de</strong> tendresse.<br />
Puisse Dieu lui prêter longue vie !<br />
A mes frères bien-aimés, Mohammed Yassine et Aness Chihabeddine, à<br />
qui je souhaite plein <strong>de</strong> réussite dans leur travail et leurs étu<strong>de</strong>s.<br />
A celui qui est tout prés mais loin, loin mais tout prés, mon trés cher<br />
Salim.<br />
A toute ma famille et tous mes amis.<br />
3
Notations<br />
– N est un entier, Ω ⊂ R N est un ensemble ouvert borné, <strong>de</strong> frontière ∂Ω<br />
– X un espace <strong>de</strong> Banach <strong>de</strong> norme || || et X’ son dual.<br />
– H un espace <strong>de</strong> Hilbert.<br />
– < , > la paire <strong>de</strong> H avec son dual<br />
– L p (Ω) est l’espace <strong>de</strong> fonctions mesurables u : Ω → R avec la norme<br />
finie :<br />
(∫ ) 1<br />
||f|| L p (Ω) = |f(x)| p p<br />
dx , 1 ≤ p < ∞<br />
Ω<br />
L ∞ (Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et ∃ une constante C telle que|f(x)| ≤ C p.p sur Ω}<br />
||f|| L ∞ (Ω) = ess sup x∈Ω |u(x)|<br />
– Si x, y ∈ R N alors x.y est le produit scalaire dans R N , i.e :<br />
– Si x = (x 1 , ..., x N ), et y = (y 1 , ..., y N ) , alors<br />
(<br />
∑ N<br />
– Si x ∈ R N , |x| =<br />
x 2 i<br />
i=1<br />
) 1<br />
2<br />
.<br />
x.y =<br />
N∑<br />
x i y i<br />
∑<br />
– m = (m 1 , m 2 , .., m N ) ∈ N N est un multi-indice , et m = N m i .<br />
∇ m :=<br />
∂ m<br />
∂x m 1<br />
1 ...∂x m N<br />
N<br />
– B (x, r) = {y ∈ Ω ; ||x − y|| < r} est la boule ouverte <strong>de</strong> rayon r dans<br />
Ω<br />
– u : Ω → R une fonction, alors<br />
i=1<br />
( ) T ∂u ∂u<br />
∇u = , · · · , , son gradient et<br />
∂x 1 ∂x N<br />
∑<br />
△u = n ∂ 2 u<br />
= div(∇u) son laplacien<br />
i=1∂x 2 i<br />
i=1
– p ∗ est l’exposant critique <strong>de</strong> p : p ∗ = Np<br />
N−p .<br />
– Supp (u) = {x ∈ Ω ; u(x) ≠ 0} est le support d’une fonction<br />
u : Ω → R N .<br />
– ω ⊂⊂ Ω : ω est un ouvert <strong>de</strong> Ω tel que ϖ ⊂ Ω et ϖ est compact.<br />
– ∮ udx = ∫<br />
1<br />
u dx, la moyenne <strong>de</strong> u sur la boule B(x B(x 0 ,r) |B(x 0 ,r)| B(x 0 ,r) 0, r).<br />
5
Table <strong>de</strong>s matières<br />
Notations 4<br />
Introduction 7<br />
1 Préliminaires 9<br />
1.1 Les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.1.1 Les espaces C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.1.2 Les espaces <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.1.3 Les espaces <strong>de</strong> Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.2 Quelques inégalités utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.2.1 <strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.2.2 <strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.2.3 <strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> Poincarré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.2.4 <strong>Inégalité</strong>s <strong>de</strong> Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.3 Notions d’existence <strong>de</strong> solutions faibes . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.3.1 Introduction sur les opérateurs sous forme divergence . 15<br />
1.3.2 L’existence dans le cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
1.3.3 L’existence dans le cas semi linéaire . . . . . . . . . . . 17<br />
2 Régularité 21<br />
2.1 La régularité pour les équations linéaires . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.2 La régularité pour les équations<br />
semi linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3 <strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong> et application 32<br />
3.1 Pour l’équation <strong>de</strong> Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.2 Pour l’équation <strong>de</strong> Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
3.3 Pour div(A∇u) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
Bibliographie 58<br />
6
Introduction<br />
Dans ce mémoire nous nous intéresserons à la régularité <strong>de</strong>s équations<br />
aux dérivées partielles du second ordre uniformément elliptiques.<br />
Il est souvent difficile <strong>de</strong> travailler directement dans <strong>de</strong>s espaces <strong>de</strong> classe<br />
C k . Généralement, nous montrons l’existence <strong>de</strong> solutions faibles dans <strong>de</strong>s<br />
espaces dits <strong>de</strong> Sobolev, puis nous essayons d’améliorer leur régularité.<br />
L’objectif principal <strong>de</strong> ce travail est justement l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> la régularité <strong>de</strong>s<br />
solutions faibles <strong>de</strong> certaines EDPs du second ordre.<br />
Ce travail est composé <strong>de</strong> trois chapitres :<br />
Le chapitre I est consacré aux "Préliminaires". il est décomposé en trois<br />
parties :<br />
La première consiste à présenter les espaces dans lesquels nous allons travailler,<br />
à savoir les espaces <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r, les espaces <strong>de</strong> Sobolev et leurs propriétés.<br />
Dans la <strong>de</strong>uxième, nous énoncerons quelques inégalités qui nous seront utiles<br />
par la suite.<br />
Enfin, nous introduirons l’opérateur sous forme divergence<br />
L = −div(A∇) + b.∇ + c<br />
En premier lieu nous considérerons l’EDP linéaire qui lui est associée, soit :<br />
Lu = f(x)<br />
L’existence dans ce cas est assurée par le théorème <strong>de</strong> Lax Milgram.<br />
Ensuite, nous considérerons <strong>de</strong>s équations semi linéaires du type :<br />
−∆u = g(u)<br />
Pour l’existence <strong>de</strong> solution <strong>de</strong> cette <strong>de</strong>rnière, nous ferons appel aux métho<strong>de</strong>s<br />
variationnelles.<br />
7
TABLE DES MATIÈRES 8<br />
Le chapitre II porte sur la régularité qui sera aussi reprise au chapitre III.<br />
Nous étudierons la régularité <strong>de</strong> solutions faibles <strong>de</strong>s équations qui ont déja<br />
été introduits dans le chapitre I, c’est à dire <strong>de</strong><br />
et <strong>de</strong><br />
−Lu = f(x)<br />
−∆u = g(u)<br />
En fait, nous verrons que cette régularité dépend <strong>de</strong> celle <strong>de</strong>s coefficients et<br />
du second membre.<br />
Enfin dans le troisième chapitre, nous donnerons une autre approche <strong>de</strong><br />
la régularité grâce à "l’inégalité <strong>de</strong> Caccippioli". Elle est <strong>de</strong> la forme<br />
∫<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
∫<br />
|∇u| p dx ≤ C<br />
B(x 0 ,r)<br />
∮<br />
∣ u(x) −<br />
B(x 0 ,r)<br />
u<br />
∣<br />
p<br />
dx, pour p ∈ (1, ∞)<br />
Cette inégalité est un outil simple et puissant, elle nous donne <strong>de</strong>s estimations<br />
<strong>de</strong>s solutions faibles. De plus, elle sert à démontrer la régularité.<br />
Cependant, elle n’est pas applicable pour tout u dans W 1,p . Elle l’est<br />
seulement pour les solutions <strong>de</strong> certaines EDP et problèmes variationnels.<br />
Parmi ces équations, nous nous intéresserons aux équations <strong>de</strong> Laplace, <strong>de</strong><br />
Poisson et enfin à div(A(x)u = 0.
Chapitre 1<br />
Préliminaires<br />
1.1 Les espaces fonctionnels<br />
1.1.1 Les espaces C k<br />
Définition 1.1.1 Soient Ω ⊆ R N et E un espace vectoriel sur R.<br />
Une fonction u : Ω → R est dite continue en x 0 si ∀x 0 ∈ Ω, ∀ε > 0, ∃δ > 0<br />
tel que<br />
x ∈ E, ||x − x 0 || < δ ⇒ |u(x) − u(x 0 )| < ε,<br />
où la norme dans R N est la norme euclidienne.<br />
Définition 1.1.2 Soit Ω un ouvert <strong>de</strong> R N .<br />
On définit<br />
C 0 (Ω) := {u : Ω → R| u est continue } .<br />
C 0 (Ω) := { u : Ω → R| u est continue et se prolonge continument sur Ω } .<br />
Si u ∈ C 0 (Ω), alors sa norme est donnée par<br />
||u|| C 0 (Ω) = sup x∈Ω|u(x)|<br />
.<br />
De plus, (C 0 (Ω), || || C 0) est un espace <strong>de</strong> Banach.<br />
Définition 1.1.3 Soit Ω un ouvert <strong>de</strong> R N .<br />
Une fonction u : Ω → R est dite <strong>de</strong> classe C k sur Ω si toutes ses dérivées<br />
partielles jusqu’à l’ordre k existent et sont continues.<br />
9
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 10<br />
Plus formellement, u : Ω → R est <strong>de</strong> classe C k sur Ω si<br />
∇ m u ∈ C 0 (Ω), ∀m ∈ {0, 1, ..., k} ,<br />
On pose alors<br />
C k (Ω) := { u : Ω → R| u est <strong>de</strong> classe C k sur Ω }<br />
C k (Ω) :=<br />
{ u : Ω → R| u est <strong>de</strong> classe C k sur Ω, et toutes ses dérivées partielles<br />
jusqu’à ce que l’ordre k se prolongent continument sur Ω<br />
}<br />
Ainsi<br />
C ∞ (Ω) := ⋂ k≥0<br />
C k (Ω), C ∞ (Ω) := ⋂ k≥0<br />
C k (Ω)<br />
et<br />
||u|| C k = max 0≤m≤k (sup x∈Ω |∇ m u(x)|)<br />
1.1.2 Les espaces <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r<br />
Définitions Supposons Ω un ouvert <strong>de</strong> R N et 0 < α ≤ 1<br />
– Une fonction u : Ω → R N est dite continue Höldérienne d’exposant α<br />
si<br />
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| α x, y ∈ Ω<br />
– Si u : Ω → R est bornée et continue, on écrit<br />
||u|| C(Ω) = sup |u(x)|<br />
x∈Ω<br />
– La semi norme d’ordre α <strong>de</strong> la fonction u : Ω → R est<br />
{ }<br />
|u(x) − u(y)|<br />
[u] C 0,α (Ω) = sup x,y∈Ω x≠y<br />
|x − y| α<br />
et<br />
– la norme d’ordre α par<br />
||u|| C 0,α (Ω) = ||u|| C(Ω) + [u] C 0,α (Ω)
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 11<br />
– L’espace <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r<br />
C k,α (Ω)<br />
est constituée <strong>de</strong>s fonctions C k (Ω) pour lesquelles la norme<br />
||u|| C k,α (Ω) = ∑<br />
||D α u|| C(Ω) + ∑<br />
[D α u] C 0,α (Ω)<br />
|α|≤k<br />
|α|=k<br />
est fini.<br />
Donc l’espace C k,α (Ω) est constitué <strong>de</strong> fonctions qui sont k−fois<br />
continument différentiables et leur dérivées partielles sont continues<br />
Höldériennes d’exposant α.<br />
1.1.3 Les espaces <strong>de</strong> Sobolev<br />
L’espace W 1,p et ses propriétés<br />
Définition 1.1.4 L’espace <strong>de</strong> Sobolev<br />
{<br />
∫<br />
W 1,p (Ω) = u ∈ L p (Ω); ∃g 1 , ..., g N ∈ L p (Ω)|<br />
Remarque 1 Si p = 2 on écrit souvent<br />
Pour u ∈ W 1,p (Ω) on note<br />
Ω<br />
H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω).<br />
∂u<br />
∂x i<br />
= g i .<br />
L’espace u ∈ W 1,p (Ω) est muni <strong>de</strong> la norme<br />
ou parfois la norme équivalente<br />
||u|| W 1,p = ||u|| L p +<br />
u ∂ϕ ∫<br />
}<br />
= − g i ϕ∀ϕ ∈ C0 ∞ (Ω)∀i = 1, 2, ..., N<br />
∂x i Ω<br />
∥ N∑<br />
∂u ∥∥∥L<br />
∥∂x i p<br />
i=1<br />
(<br />
||u|| p L p + ∑ N<br />
∥<br />
∥ ∥∥<br />
p<br />
∂x i<br />
i=1 ∥ ∂u<br />
L p ) 1<br />
p<br />
(si 1 ≤ p < ∞)<br />
Proposition 1.1.1 – L’espace W 1,p est un espace <strong>de</strong> Banach pour<br />
1 ≤ p ≤ ∞ ; réflexif pour 1 < p < ∞ et séparable pour 1 ≤ p < ∞.<br />
– L’espace H 1 est un espace <strong>de</strong> Hilbert séparable.
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 12<br />
Voici un résultat important <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité :<br />
Théorème 1.1.1 (Friedrichs) Soit u ∈ W 1,p avec 1 ≤ p < ∞.<br />
Alors il existe une suite (u n ) <strong>de</strong> Cc<br />
∞ (R N ) telle que<br />
(i) u n|Ω → u dans L p (Ω)<br />
(ii) ∇u n|ω → ∇u ω dans L p (ω) N pour tout ω ⊂⊂ Ω<br />
Proposition 1.1.2 (Dérivation d’un produit ) Soient u, v ∈ W 1,p (Ω) ∩<br />
L ∞ (Ω) avec 1 ≤ p ≤ ∞. Alors uv ∈ W 1,p (Ω) ∩ L ∞ (Ω) et<br />
∂<br />
(uv) = ∂u v + u ∂v<br />
∂x i ∂x i ∂x i<br />
i = 1, 2, .., N<br />
Définition 1.1.5 Soit 1 ≤ p < ∞ : W 1,p<br />
0 (Ω) désigne la ferméture C ∞ c (Ω)<br />
dans W 1,p (Ω).<br />
On note<br />
H 1 0(Ω) = W 1,2<br />
0 (Ω)<br />
Théorème 1.1.2 On suppose Ω <strong>de</strong> classe C 1 . Soit<br />
u ∈ W 1,p (Ω) ∩ C ( Ω) avec 1 ≤ p < ∞<br />
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :<br />
(i)<br />
u = 0 sur ∂Ω<br />
(ii) u ∈ W 1,p<br />
0 (Ω)<br />
Théorème 1.1.3 (Rellich Kondrachov) On suppose Ω borné <strong>de</strong> classe<br />
C 1 . On a<br />
– Si p < N, alors W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω), ∀q ∈ [1, p ∗ [ où 1 = 1 − 1 p ∗ p N<br />
– Si p = N, alors W 1,p (Ω) ⊂ L q (Ω), ∀q ∈ [1, ∞[,<br />
– Si p < N, alors W 1,p (Ω) ⊂ C(Ω),<br />
avec injections compactes.
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 13<br />
L’espace W k,p<br />
Définition 1.1.6 Soient k ≥ 2 un entier et soit p un réel avec 1 ≤ p ≤ ∞.<br />
– L’espace W k,p est défini par<br />
⎧<br />
⎨ u ∈ L p (Ω)|<br />
W k,p (Ω) =<br />
⎩<br />
– Si u ∈ W k,p (Ω) alors on définit sa norme par<br />
⎧<br />
( ∑ ∫<br />
⎪⎨<br />
|α|≤k Ω |Dα u| p dx<br />
||u|| W k,p (Ω) =<br />
⎪⎩<br />
∀α avec |α| < k ∃g α ∈ L p (Ω) tel que<br />
∫<br />
Ω u Dα ϕ = (1) | α| ∫ Ω g ϕ, ∀ϕ ∈ C∞ 0 (Ω)<br />
) 1<br />
p<br />
1 ≤ p < ∞<br />
∑<br />
|α|≤k ess sup Ω|D α u| (p = ∞)<br />
1.2 Quelques inégalités utiles<br />
1.2.1 <strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> Young<br />
Définition 1.2.1 On dit que p, q ∈ [1, ∞[ sont <strong>de</strong>ux exposants conjugués si<br />
1<br />
p + 1 q = 1<br />
Proposition 1.2.1 (inégalité <strong>de</strong> Young) Soient 1 < p, q < ∞ tels que<br />
Alors<br />
1<br />
p + 1 q = 1<br />
ab ≤ ap<br />
p + aq<br />
q<br />
1.2.2 <strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r<br />
(a, b > 0)<br />
Soit Ω ⊂ R N , supposons que 1 ≤ p, q ≤ ∞ tels que<br />
1<br />
p + 1 q = 1<br />
Si f ∈ L p , g ∈ L q , alors fg ∈ L 1 et<br />
∫<br />
|fg| ≤ ||f|| L p ||g|| L q<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 14<br />
1.2.3 <strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> Poincarré<br />
Proposition 1.2.2 Soit Ω un sous ensemble ouvert connexe et borné <strong>de</strong> R N ,<br />
avec frontière ∂Ω, <strong>de</strong> classe C 1 . Supposons 1 ≤ p ≤ ∞.<br />
Alors, il existe une constante C dépendante seulement <strong>de</strong> N, p et Ω telle que<br />
pour chaque fonction u ∈ W 1,p (Ω).<br />
||u − u Ω || L p (Ω) ≤ ||∇u|| L p (Ω)<br />
1.2.4 <strong>Inégalité</strong>s <strong>de</strong> Sobolev<br />
Théorème 1.2.1 Soit Ω un sous-ensemble ouvert <strong>de</strong> R N<br />
classe C 1 . Supposons u ∈ W k,p (Ω).<br />
– Si<br />
k < n p<br />
<strong>de</strong> frontière <strong>de</strong><br />
alors u ∈ L q (Ω) où<br />
et en plus, on a l’estimation<br />
1<br />
q = 1 p − k N<br />
||u|| L q (Ω) ≤ C||u|| W k,p (Ω)<br />
la constante C dépend seulement <strong>de</strong> k, N, p et Ω<br />
– Si<br />
k > N p<br />
alors u ∈ C k−[ N p ]−1,α (Ω) où<br />
⎧<br />
⎨<br />
α =<br />
⎩<br />
[ N ] + 1 − N si n’est pas entier<br />
p p<br />
n’importe quel nombre positif
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 15<br />
1.3 Notions d’existence <strong>de</strong> solutions faibes<br />
1.3.1 Introduction sur les opérateurs sous forme divergence<br />
Tout d’abord, on introduit les opérateurs sous forme divergence<br />
−<br />
N∑<br />
i,j=1<br />
−<br />
(<br />
∂<br />
a i,j (x) ∂u )<br />
+<br />
∂x i ∂x j<br />
N∑ ∂ 2 u<br />
a i,j (x) +<br />
∂x i ∂x j<br />
i,j=1<br />
N∑<br />
i=1<br />
N∑<br />
i=1<br />
b i (x) ∂u<br />
∂x i<br />
+ c(x)u = f(x) dans Ω (1.1)<br />
b i (x) ∂u<br />
∂x i<br />
+ c(x)u = f(x) dans Ω (1.2)<br />
où Ω est un sous-ensemble borné <strong>de</strong> R N , a i,j (x), b i , c f : Ω → R sont <strong>de</strong>s<br />
fonctions données.<br />
En utilisant A = (a i,j ) i,j=1,...,N et b = (b 1 , ..., b N ) T , on peut écrire (1.2)<br />
sous la forme<br />
−tr(A∇ 2 u) + b .∇u + cu = f dans Ω<br />
et (1.1) sous la forme<br />
−div(A∇u) + ˜b .∇u + cu = f dans Ω<br />
On dit que l’EDP Lu = 0 est sous forme divergence si l’opérateur L est donné<br />
par (1.1) et qu’elle n’est pas sous forme divergence s’il est donné par (1.2).<br />
Remarque Si les coefficients a i,j sont <strong>de</strong> classe C 1 , l’équation (1.1) peut<br />
être réecrite sous forme <strong>de</strong> (1.2) , et vice versa.<br />
En effet ;<br />
On a<br />
N∑ ∂a i,j ∂u<br />
div(A∇u) = tr(A∇u) +<br />
∂x i ∂x i<br />
Si, on pose<br />
alors (1.2) est équivalente à<br />
N∑ ∂ 2 u<br />
− a i,j (x) +<br />
∂x i ∂x j<br />
i,j=1<br />
˜bi = b i +<br />
N∑<br />
i=1<br />
N∑<br />
j=1<br />
i,j=1<br />
∂a i,j<br />
∂x j<br />
,<br />
˜bi (x) ∂u<br />
∂x i<br />
+ c(x)u = f(x) dans Ω (1.3)
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 16<br />
Définition 1.3.1 L’opérateur L est elliptique si pour tout x ∈ Ω, tout ξ ∈<br />
R N , il satisfait<br />
ξ.A(x)ξ > 0<br />
(i.e, toutes les valeurs propres <strong>de</strong> A sont positives).<br />
On dit que L est uniformément elliptique s’il existe une constante β > 0 telle<br />
que<br />
ξ.A(x)ξ > β|ξ| 2<br />
pour tout x ∈ Ω et tout ξ ∈ R N .<br />
L’ellipticité veut dire que pour chaque point x ∈ Ω, la matrice symétrique<br />
A(x) est définie positive et que sa plus petite valeur propre est majorée par<br />
β.<br />
1.3.2 L’existence dans le cas linéaire<br />
Supposons que a i,j , b i , c ∈ L ∞ (Ω) i, j = 1, ..., N, et f ∈ L 2 (Ω).<br />
Définition 1.3.2 (Solutions faibles) La forme bilinéaire associée à<br />
l’opérateur sous forme divergence est :<br />
∫<br />
B[u, v] =<br />
N∑<br />
Ω i,j=1<br />
a i,j (x) ∂u<br />
∂x i<br />
∂v<br />
∂x i<br />
+<br />
N∑<br />
i=1<br />
pour u, v ∈ H 1 0(Ω)<br />
On dit que u ∈ H 1 (Ω) est solution faible <strong>de</strong> (1.1) si<br />
B[u, v] = (f, v)<br />
b i (x) ∂u<br />
∂x i<br />
+ c(x)u dx<br />
pour tout v ∈ H 1 0(Ω) où ( , ) dénote le produit scalaire dans L 2 (Ω).<br />
Supposons que H est espace <strong>de</strong> Hilbet réel <strong>de</strong> norme || || et <strong>de</strong> produit<br />
scalaire( , ).<br />
Théorème 1.3.1 (Lax Milgram) Supposons B : H × H → R est une application<br />
linéaire pour laquelle, il existe <strong>de</strong>ux constantes α, β > 0 telles que<br />
– (i) |B[u, v]| ≤ α||u|| ||v|| (u, v) ∈ H et<br />
– (ii) β||u|| 2 ≤ B[u, u] u ∈ H et soit f : H → R une fonctionnelle linéaire<br />
bornée dans H.
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 17<br />
Alors, il existe une solution unique u ∈ H telle que<br />
pour tout v ∈ H.<br />
B[u, v] =< f, v ><br />
1.3.3 L’existence dans le cas semi linéaire<br />
Tout d’abord, nous allons donner quelques définitions<br />
Définition 1.3.3 Soit X un espace <strong>de</strong> Banach et E ∈ C 1 (X).<br />
– On dit que u ∈ X est un point critique <strong>de</strong> E si E ′ (u) = 0; sinon il est<br />
régulier.<br />
– On dit que c ∈ R est une valeur critique <strong>de</strong> E ,s’il existe un point critique<br />
<strong>de</strong> E avec E(u) = c.<br />
– On dit que la suite (u n ) n ⊂ X est <strong>de</strong> Palais-Smale <strong>de</strong> niveau c, (P S) c ,<br />
si<br />
E(u n ) → c et E ′ (u n ) → 0 dans X ′ , le dual <strong>de</strong> X<br />
– Condition <strong>de</strong> Palais-Smale<br />
(P.-S) Toute suite <strong>de</strong> Palais-Smale a une sous-suite convergente.<br />
1. Métho<strong>de</strong> directe<br />
Théorème 1.3.2 Supposons X un espace <strong>de</strong> Banach réflexif avec la<br />
norme || ||, et soit M ⊂ X un sous ensemble faiblement fermé <strong>de</strong> X.<br />
Supposons E : M → R∪∞ est coercive et faiblement semi continue sur<br />
M par rapport à X, i.e, on suppose que les conditions suivantes sont<br />
satisfaites :<br />
(1) E(u) → ∞ quand ||u|| → ∞, u ∈ M.<br />
(2) Pour tout u ∈ M, toute suite (u n ) dans M telle que u n ⇀ u faiblement<br />
dans X, on a<br />
E(u) ≤ lim inf<br />
n→∞ E(u n)<br />
Alors u est borné inférieurement sur M et atteint son minimum dans<br />
M.
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 18<br />
2. Métho<strong>de</strong>s variationnelles<br />
⎧<br />
−∆u(x) = u p pour x ∈ Ω<br />
⎪⎨<br />
(P 1 ) u(x) > 0 pour x ∈ Ω<br />
⎪⎩<br />
u(x) = 0 pour x ∈ ∂Ω<br />
où p = N+2<br />
N−2 = 2∗ −1 est critique <strong>de</strong> point <strong>de</strong> vue d’injection <strong>de</strong> Sobolev.<br />
En fait, les solutions <strong>de</strong> (P 1 ) correspon<strong>de</strong>nt aux points critiques <strong>de</strong><br />
la fonctionnelle d’énergie<br />
E(u) = 1 ∫<br />
|∇u| 2 dx − 1 ∫<br />
|u| p+1 dx<br />
2 Ω<br />
p + 1 Ω<br />
Notons que p + 1 = 2N est l’exposant limite <strong>de</strong> l’injection <strong>de</strong> Sobolev<br />
N−2<br />
H0(Ω) 1 ⊂ L p+1 (Ω).<br />
Puisque l’injection n’est pas compacte, la fonctionnelle ne satsfait pas<br />
la condition <strong>de</strong> Palais-Smale et dans ce cas nous avons le résultat <strong>de</strong><br />
non-existence dû à Pohozaev suivant :<br />
Quand Ω est ètoilé alors le problème (P 1 ) avec p = N+2 n’admet pas<br />
N−2<br />
<strong>de</strong> solutions.<br />
Si on ajoute une perturbation à (P 1 ), on peut avoir <strong>de</strong>s solutions même<br />
dans le cas critique.<br />
En effet, soit le problème <strong>de</strong> Brézis-Nirenberg<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
(P 2 )<br />
⎪⎩<br />
−∆u(x) = u p + λu pour x ∈ Ω<br />
u(x) > 0 pour x ∈ Ω<br />
u(x) = 0 pour x ∈ ∂Ω<br />
Les solutions <strong>de</strong> (P 2 ) sont les points critiques <strong>de</strong> la fonctionnelle d’énergie<br />
E(u) = 1 ∫<br />
|∇u| 2 − λ ∫<br />
|u| 2 − 1 ∫<br />
|u| p+1 dx<br />
2 Ω 2 Ω p + 1 Ω<br />
or puisque l’équation est homogène, on peut utiliser<br />
– Minimisation sous contrainte<br />
∫<br />
On minimise la fonctionnelle : Ẽ(u) = 1 2 Ω |∇u|2 − 1λ ∫ u 2 sur la<br />
2
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 19<br />
sphère unité dans L p+1 (Ω),<br />
M = {u ∈ H 1 0(Ω) : ||u|| p+1<br />
L p+1 = 1}<br />
un point critique <strong>de</strong> Ẽ satisfait l’équation<br />
−∆u − λu = µu p<br />
où µ est le multiplicateur <strong>de</strong> Lagrange, donc après avoir trouver la<br />
valeur <strong>de</strong> µ on obtient une solution <strong>de</strong> (P 2 ).<br />
ou d’une manière équivalente,<br />
– Minimisation du quotient <strong>de</strong> Sobolev<br />
∫<br />
Ω<br />
S λ (u ; Ω) =<br />
|∇u|p − λ ∫ Ω |u|2<br />
( ∫ Ω |u|p+1 dx) 2/p+1<br />
On a le résultat suivant<br />
Théorème 1.3.3 (a) N ≥ 4, (P 2 ) a une solution pour tout λ ∈<br />
(0, λ 1 ) et n’admet pas <strong>de</strong> solution quand λ /∈ (0, λ 1 ) et Ω étoilé,<br />
où λ 1 est la première valeur propre <strong>de</strong> −∆.<br />
(b) N = 3, on a une solution complète seulement quand Ω est une<br />
boule. Dans ce cas (P 2 ) a une solution ssi λ ∈ ( 1 4 λ 1, λ 1 ).<br />
De plus, on a le resultat <strong>de</strong> non-existence suivant :<br />
Théorème 1.3.4 Soit Ω ≠ R N un domaine régulier dans R N , N ≥<br />
3 qui est étoilé par rapport à l’origine dans R N , et soit λ ≤ 0.<br />
Alors, l’unique solution du problème (P 2 ) est la solution triviale.<br />
– Métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> Minimax<br />
Elle est basée sur le lemme du Col ou parfois appelé la métho<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
Montain Pass.<br />
Théorème 1.3.5 ( Mountain Pass) Supposons E ∈ C 1 (X) satisfait<br />
(P-S). Supposons<br />
(a) E(0) = 0 ;<br />
(b) ∃ρ > 0, α > 0 : ||u|| = ρ ⇒ E(u) ≥ α ;
CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES 20<br />
(c) ∃u 1 ∈ X : ||u 1 || ≥ ρ et E(u 1 ) < α.<br />
Définissons<br />
Alors<br />
P = {p ∈ C 0 ([0, 1[; X); p(0) = 0, p(1) = u 1 }.<br />
est une valeur critique.<br />
β = inf<br />
p∈P<br />
sup p∈P ≥ α<br />
Ce théorème nous fournit <strong>de</strong>s solutions pour <strong>de</strong>s problèmes plus généraux.<br />
En effet, soit<br />
⎧<br />
⎨ −∆u = g(., u) dans Ω<br />
⎩<br />
u = 0<br />
sur ∂Ω<br />
Théorème 1.3.6 Soit Ω un domaine régulier borné dans R N , N ≥<br />
3, p > 1 et soit g : Ω × R → R une fonction <strong>de</strong> Carathéodory avec<br />
primitive G(x, u) = ∫ u<br />
g(x, v) = dv.<br />
0<br />
Supposons que les conditions suivantes sont satisfaites<br />
g(x,u)<br />
(a) lim sup u→0 ≤ 0 uniformément en x ∈ Ω ;<br />
u<br />
(b) ∃p < 2 ∗ , C : |g(x, u)| ≤ C(1 + |u| p−1 ) pour presque tout x ∈<br />
Ω, u ∈ R<br />
(c) ∃q > 2, R 0 , C : 0 < q G(x, u) ≤ g(x, u) u pour presque tout<br />
x ∈ Ω, si |u| ≥ 0.<br />
Alors, le problème admet <strong>de</strong>s solutions non-triviales u + ≥ 0 ≥ u −<br />
dans Ω.
Chapitre 2<br />
Régularité<br />
2.1 La régularité pour les équations linéaires<br />
Dans ce chapitre, on étudie les équations <strong>de</strong> la forme<br />
−<br />
N∑<br />
i,j=1<br />
(<br />
∂<br />
a i,j (x) ∂u )<br />
+<br />
∂x i ∂x j<br />
N∑<br />
i=1<br />
b i (x) ∂u<br />
∂x i<br />
+ c(x)u = f(x) dans Ω (2.1)<br />
où Ω est un sous-ensemble borné <strong>de</strong> R N , a i,j (x), b i , c f : Ω → R sont <strong>de</strong>s<br />
fonctions données.<br />
Dorénavant, on suppose la condition <strong>de</strong> symétrie<br />
a i,j (x) = a j,i (x) i, j = 1, ..., N<br />
Si on a une équation qui ne satisfait pas cette <strong>de</strong>rnière condition, alors on<br />
peut remplacer a i,j par ã i,j = 1 2 (a i,j + a j,i ) afin d’avoir une équation équivalente<br />
qui a la propriété <strong>de</strong> symétrie.<br />
Une fois qu’on a une solution faible d’une équation telle que<br />
Lu = f dans Ω (2.2)<br />
On aimerait bien qu’elle soit une solution classique. Une condition necessaire<br />
pour ceci est bien évi<strong>de</strong>mment que la dérivée secon<strong>de</strong> existe, ce qui nous ramène<br />
à un problème <strong>de</strong> régularité.<br />
21
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 22<br />
On suppose que L est uniformément elliptique avec la constante<br />
d’ellipticité β > 0.<br />
Avant d’annoncer le résultat principal <strong>de</strong> cette partie, on a besoin <strong>de</strong> la<br />
proposition suivante :<br />
Proposition 2.1.1 – (i) Supposons u, v ∈ L 2 (Ω) et que l’un d’eux est à<br />
support compact dans Ω.<br />
Alors, pour h < dist(K, ∂Ω), on a<br />
∫<br />
∫<br />
u(x) ∂k h (v) dx = − ∂ −h<br />
k<br />
u(x) v(x) dx<br />
Ω<br />
Ω<br />
– (ii)Si u ∈ W 1,p (Ω) et Ω ′ ⊂⊂ Ω pour h < dist(K, ∂Ω), on a<br />
et<br />
– (iii)Pour h < dist(K, ∂Ω), on a<br />
Preuve.<br />
– (i)<br />
∫<br />
Ω<br />
∂ h k (u) ∈ W 1,p (Ω)<br />
∂ xk (∂ h k u) = ∂ h k (∂ xk u)<br />
∂ h k (uv)(x) = u(x + he k )∂ h k v(x) + ∂ h k u(x) v(x)<br />
u ∂ h k (v) dx =<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
Ω<br />
Ω<br />
u(x) v(x + he k − v(x)<br />
dx<br />
h<br />
∫<br />
u(x)v(x + he k ) u(x)v(x)<br />
dx −<br />
h<br />
h<br />
et en faisant le changement <strong>de</strong> variable x en x − he k dans la première<br />
intégrale, il vient que<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
u ∂k h u(x − he k )v(x) u(x)v(x)<br />
(v) dx =<br />
dx −<br />
dx<br />
Ω<br />
Ω h<br />
Ω h<br />
∫<br />
u(x) − u(x − he k )<br />
=<br />
v(x) dx<br />
Ω h<br />
∫<br />
= − ∂ −h<br />
k<br />
(x) v(x) dx<br />
Ω<br />
Ω<br />
dx
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 23<br />
–<br />
(ii) < ∂ xk (∂k h (u)), ϕ > = − < ∂k h (u), ∂ xk ϕ ><br />
∫<br />
= − ∂k h (u) ∂ xk ϕ dx<br />
∫<br />
Ω<br />
= u ∂ −h<br />
k<br />
(∂ x k<br />
ϕ) dx par (i)<br />
∫<br />
< ∂ xk (∂k h (u)), ϕ > = u∂k h ∂ xk (∂ −h<br />
k ϕ)<br />
Ω∫<br />
= − ∂ xk u ∂ −h<br />
k<br />
ϕ dx<br />
∫<br />
Ω<br />
= ∂k h (∂ xk u) ϕ dx par (i)<br />
Ω<br />
Ω<br />
= < ∂ h k (∂ xk u), ϕ ><br />
– (iii)On a par définition <strong>de</strong> ∂ h k<br />
∂k h (uv)(x) = u(x + he k)v(x + he k ) − u(x)v(x)<br />
h<br />
= u(x + he k ) v(x + he k) − v(x)<br />
+ u(x + he k) − u(x)<br />
v(x)<br />
h<br />
h<br />
= u(x + he k )∂k h v(x) + ∂k h u(x)v(x)<br />
Théorème 2.1.1 Supposons que a i,j ∈ C 0,1 (Ω) et b i , c ∈ L ∞ (Ω). Si u ∈<br />
H 1 (Ω) est une solution faible <strong>de</strong> (2.1) pour f ∈ L 2 (Ω), alors u ∈ Hloc 2 (Ω).<br />
Preuve. Fixons k ∈ 1, ..., N, on utilise l’opérateur <strong>de</strong> difference<br />
∂k h w(x) = 1 h (w(x + he k) − w(x)),<br />
où k est le k ème vecteur unitaire.<br />
Supposons que Ω ′ ⊂ Ω est précompact dans Ω, soit η ∈ C ∞ 0 (Ω) avec 0 ≤ η ≤ 1<br />
et η ≡ 1 dans Ω ′ . Définissons<br />
v = −∂ −h<br />
k (η2 ∂ h k u)
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 24<br />
si |h| est suffisemment petit, alors elle est bien définie dans Ω et v ∈ H0(Ω).<br />
1<br />
D’où<br />
∫<br />
∫<br />
∇v.A∇udx = − vdiv(A∇u)<br />
Ω<br />
∫<br />
Ω<br />
= v(b.∇u + cu − f)dx (2.3)<br />
On calcule<br />
∫<br />
∇v.A∇udx =<br />
Ω<br />
∫<br />
Ω<br />
Ω<br />
∇(−∂ −h<br />
k<br />
(η2 ∂k h u)).A∇udx<br />
∫<br />
∂ −h<br />
k<br />
∇(η2 ∂k h u).A∇udx par (ii)<br />
= −<br />
∫<br />
Ω<br />
= ∇(η 2 ∂k h u).∂k h (A∇u)dx par (i)<br />
∫Ω<br />
= ∇(η 2 ∂k h u).(A(x + he k )∇∂k h u + ∂k h A∇u)dx par (iii)<br />
∫Ω<br />
= η 2 ∇∂k h u.A(x + he k )∇∂k h udx (2.4)<br />
∫Ω<br />
+ η 2 ∇∂k h u.∂k h A∇u<br />
Ω∫<br />
+ 2 η∂k h u∇η.A(x + he k )∇∂k h udx<br />
∫Ω<br />
+ 2 η∂k h u∇η.∂k h A∇u dx<br />
Ω<br />
soit<br />
∫<br />
I = ( η 2 |∇∂k h u| 2 dx) 1 2<br />
Ω<br />
alors par l’ellipticité <strong>de</strong> L, on a<br />
ce qui implique que<br />
∫<br />
βI 2 ≤<br />
β|∇∂ h k u| 2 ≤ ∇∂ h k u.A(x + he k )∇∂ h k u<br />
De plus, par l’inégalité <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r, on a<br />
∫<br />
Ω<br />
Ω<br />
η 2 ∇∂ h k u.A(x + he k )∇∂ h k udx<br />
∫<br />
∫<br />
η 2 ∇(∂k h u).∂k h A∇udx ≤ ( η 2 |∇∂k h u| 2 dx) 1 2 ( η 2 |∂k h A| 2 |∇u| 2 dx) 1 2 (2.5)<br />
Ω<br />
Ω
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 25<br />
D’où,pour C 1 = ‖A‖ C 0,1 (Ω), on obtient<br />
∫<br />
η 2 ∇∂k h u.∂k h A∇u dx ≤ C 1 I ‖∇u‖ L 2 (Ω)<br />
Ω<br />
<strong>de</strong> la même manière, on a<br />
∫<br />
∣ 2 η∂k h u∇η.A(x + he k )∇∂k h u dx<br />
∣<br />
Ω<br />
( ∫<br />
) 1 ( ∫<br />
≤ 2 η 2 |∂k h u|∇η| 2 2<br />
dx η 2 |A(x + he k )| 2 |∇∂k h u| 2 dx<br />
Ω<br />
Ω<br />
(∫<br />
) 1<br />
∥<br />
2<br />
≤<br />
‖∇η‖ ∥<br />
L ∞ (Ω) ∂<br />
h<br />
k u ∥ ‖A‖ L 2 (supp η) L ∞ (Ω)<br />
= C 2<br />
∥ ∥∂ h<br />
k u ∥ ∥<br />
L 2 (supp η) I<br />
η 2 |∂k h u| 2 dx<br />
Ω<br />
avec C 2 = ‖∇η‖ L ∞ (Ω) ‖A‖ L ∞ (Ω) et<br />
∫<br />
|2 η∂k h u∇η.∂k h A∇u dx| ≤ C 3 ‖∇u‖ ∥<br />
L 2 (Ω) ∂<br />
h<br />
k u ∥ ,<br />
L 2 (supp η)<br />
Ω<br />
Avec C 3 = 2 ‖∇η‖ L ∞ (Ω) ‖A‖ C 0,1 (Ω) .<br />
En utilisant la formule<br />
D’où<br />
||∂ h k u|| 2 L 2 (Ω ′ ) =<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
0<br />
∮ ∫Ω ′<br />
∂k h u(x) = 1 h<br />
∮<br />
=<br />
∫ h<br />
0<br />
[0,h]<br />
∣∫ ∣∣∣ h<br />
d<br />
∫Ω dt u(x + te k) dt<br />
∣<br />
′<br />
[0,h]<br />
∮ ∫Ω ′<br />
∮<br />
∮<br />
[0,h]<br />
[0,h]<br />
[0,h]<br />
∫<br />
∫<br />
d<br />
dt u(x + te k) dt,<br />
d<br />
dt u(x + te k) dt<br />
2<br />
dx<br />
| d dt u(x + te k)| 2 dt dx<br />
) 1<br />
2<br />
∂<br />
| u(x + te k )| 2 dt dx (par l’inégalité <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r)<br />
∂x k<br />
∂<br />
u(x + te k )| 2 dx dt (par le théorème <strong>de</strong> Fubini)<br />
∂x k<br />
∂<br />
| u(x)| 2 dx dt<br />
∂x k<br />
Ω ′ |<br />
Ω<br />
‖∇u‖ 2 L 2 (Ω)
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 26<br />
Ainsi (2.4) et les inégalités ci-<strong>de</strong>ssus montrent que<br />
∫<br />
βI 2 ≤ ∇v.A∇udx + C 4 I<br />
≤<br />
Ω<br />
‖∇u‖ L 2 (Ω) + C 4≤ ‖∇u‖ L 2 (Ω)<br />
pour un nombre C 4 qui dépend seulement <strong>de</strong> η et A.<br />
D’autre part, par (3.12) et l’inégalité <strong>de</strong> Höl<strong>de</strong>r, on a<br />
où<br />
∫<br />
Ω<br />
Finalement<br />
pour C 6 = ‖∇η‖ L ∞ (Ω) .<br />
∇v.A∇udx ≤ C 5 ‖v‖ L 2 (suppη) (‖∇u‖ H 1 (Ω) + ‖f‖ L 2 (Ω) ) (2.6)<br />
C 5 = ‖b‖ L ∞ (Ω) + ‖c‖ L ∞ (Ω) + 1.<br />
∫<br />
‖v‖ L 2 (suppη)<br />
= (<br />
∫<br />
≤ (<br />
∫<br />
= (<br />
≤<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
|∂ −h<br />
k (η2 ∂ h k u)| 2 dx) 1 2<br />
|∇(η 2 ∂ h k u)| 2 dx) 1 2<br />
|η 2 ∇∂ h k u + 2η∇η(∂ h k u)| 2 dx) 1 2<br />
I + C 6 ‖∇u‖ L 2 (Ω)<br />
Maintenant, on utilise (3.13) et ces <strong>de</strong>rnières inégalités pour estimer le<br />
premier terme du coté droit <strong>de</strong> (3.12).<br />
Et en utilisant l’abbréviation<br />
on obtient<br />
E = (‖∇u‖ H 1 (Ω) + ‖f‖ L 2 (Ω) )<br />
βI 2 ≤ C 7 IE + C 7 E 2<br />
pour une constante C 7 qui dépend seulement <strong>de</strong>s coefficients <strong>de</strong> L et η.<br />
Ainsi par l’inégalité <strong>de</strong> Young<br />
βI 2 ≤ βI2<br />
2 + C2 7E 2<br />
2β + C 7E 2<br />
2
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 27<br />
i.e<br />
∫<br />
Ω<br />
η 2 |∇∂ h k u| 2 dx = I 2 ≤ C 2 8E 2<br />
pour C 2 8 = C2 7<br />
β<br />
+2C 7 et par le théorème <strong>de</strong> Alaouglu, il existe une suite h l → 0<br />
telle que<br />
∇∂ h l<br />
k u ⇀ g<br />
faiblement dans (L 2 (Ω ′ )) N pour un certain g ∈ (L 2 (Ω ′ )) N .<br />
Pour ϕ ∈ (C0 ∞ (Ω ′ )) N on a donc trouver<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∂ϕ<br />
.∇udx = lim ϕ.∇udx = lim<br />
∂x k l→+∞<br />
l→+∞<br />
Ω ′<br />
ce qui signifie que g = ∇ ∂u<br />
∂x k<br />
Ainsi u ∈ H 2 (Ω ′ ).<br />
∂ −h l<br />
k<br />
Ω ′<br />
au sens faible.<br />
Ω ′ ϕ.∇∂ h l<br />
k udx = ∫Ω ′ ϕ.gdx<br />
En appliquant le théorème précé<strong>de</strong>nt succéssivement, on va ganner en<br />
chaque étape un peu plus <strong>de</strong> régularité.<br />
Un tel raisonnement -typiques aux EDP- est appelé la technique <strong>de</strong><br />
Bootstrap.<br />
Théorème 2.1.2 Supposons que les coefficients sont C m,1 (Ω).<br />
Si f ∈ H m (Ω) et u ∈ H 1 (Ω) est une solution faible <strong>de</strong> (2.1), alors u ∈<br />
(Ω).<br />
H m+2<br />
loc<br />
Preuve. Soit u une solution faible <strong>de</strong> Lu = f, alors<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
A∇u.∇v +<br />
Ω<br />
∫<br />
b.∇u v +<br />
Ω<br />
∫<br />
cuv dx =<br />
Ω<br />
fv dx, ∀v ∈ H 1 0(Ω)<br />
Puisque v appartient à D(Ω), on peut utiliser − ∂v<br />
fonction test, on aura<br />
∂x k<br />
au lieu <strong>de</strong> v comme<br />
∫<br />
A∇u.∇(− ∂v ∫<br />
) + b.∇u (− ∂v ∫<br />
) + cu(− ∂v ∫<br />
) dx = f(− ∂v ) dx<br />
Ω ∂x k Ω ∂x k Ω ∂x k Ω ∂x k<br />
(2.7)<br />
On sait par le théorème précé<strong>de</strong>nt que u ∈ H 2 (Ω ′ ) ∀Ω ′ ⊂⊂ Ω<br />
Si <strong>de</strong> plus les a i,j ∈ C 1,1 (Ω) alors chaque composante du vecteur A.∇u<br />
appartient à H 1 (Ω ′ ).
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 28<br />
∫<br />
∫<br />
Ω<br />
Ω<br />
Et en permutant entre ∇ et ∂x k , on trouve à partir <strong>de</strong> (2.7) que<br />
∫<br />
∂<br />
(A∇u).∇vdx+ b.∇u(− ∂v ∫<br />
)dx+ cu(− ∂v ∫<br />
) dx = f(− ∂v )dx<br />
∂x k Ω ∂x k Ω ∂x k Ω ∂x k<br />
ce qui implique que<br />
(<br />
A∇( ∂u ) + ∂A ) ∫ ( ∂u<br />
.∇u .∇vdx− b. (∇u v) − ∇ ∂u ) ∫<br />
v +<br />
∂x k ∂x k Ω ∂x k ∂x k Ω<br />
Ce qui équivaut à écrire<br />
∫<br />
∂<br />
(cu)vdx =<br />
∂x k Ω<br />
∂f<br />
∂x k<br />
vdx<br />
∫<br />
Ω<br />
L ∂u ∫<br />
v =<br />
∂x k Ω<br />
∫<br />
∂f<br />
v dx −<br />
∂x k Ω<br />
∫<br />
∂A<br />
∇u.∇v dx −<br />
∂x k Ω<br />
∫<br />
∂b<br />
.(∇u v) −<br />
∂x k Ω<br />
∂c<br />
∂x k<br />
uv dx<br />
Vu que le second membre <strong>de</strong> l’équation précé<strong>de</strong>nte appartient à L 2 loc (Ω)<br />
alors l’application du théorème précé<strong>de</strong>nt nous donne<br />
∂u<br />
∂x k<br />
∈ H 2 loc(Ω)<br />
D’où u ∈ H 3 (Ω).<br />
En continuant ce processus, ou bien en appliquant seulement ce qu’on a<br />
appliqué à ∂u<br />
∂x k<br />
, on conclut par itération.<br />
Corollaire 2.1.1 Si les coefficients sont C ∞ (Ω) et f ∈ C ∞ (Ω) alors une<br />
solution faible u ∈H 1 (Ω) <strong>de</strong> (2.1) appartient à C ∞ (Ω).<br />
Preuve. Par le théorème précé<strong>de</strong>nt, on a que<br />
u ∈ H m (Ω) pour tout m, ∀ Ω ′ ⊂⊂ Ω.<br />
Puisque m est quelconque, on peut le choisir supérieur à N et donc par<br />
2<br />
injection <strong>de</strong> Sobolev (W m,2 (Ω) ⊂ C q,α (Ω)), et par conséquent, il va finir par<br />
dépasser tout entier q.<br />
D’où u ∈ C q (Ω) pour tout q.<br />
En particulier, u ∈ C ∞ (Ω).
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 29<br />
2.2 La régularité pour les équations<br />
semi linéaires<br />
A présent, on s’intéresse à la régularité <strong>de</strong> solution <strong>de</strong><br />
−∆u = g(u) dans Ω (2.8)<br />
où<br />
g ∈ C 0 (R) est une fonction donnée. C’est l’équation d’Euler Lagrange <strong>de</strong><br />
la fonctionnelle<br />
∫<br />
E(u) = ( 1 2 |∇u|2 + G(u))dx<br />
où<br />
Ω<br />
G(y) =<br />
∫ y<br />
0<br />
g(s) ds<br />
Le comportement <strong>de</strong> la solution <strong>de</strong> l’équation (2.8) dépend d’une manière<br />
cruciale du taux <strong>de</strong> croissance <strong>de</strong> g quand |y| → ∞. on suppose que<br />
pour <strong>de</strong>ux constantes C 0 et α ≥ 1<br />
|g(y)| ≤ C 0 (|y| α + 1), y ∈ R (2.9)<br />
Théorème 2.2.1 Soit N ≥ 3 et supposons que α < N+2<br />
N−2 .<br />
Si u ∈H 1 (Ω) est une solution faible <strong>de</strong> (2.8), alors u est localement continue<br />
Höldérienne dans Ω.<br />
Pour montrer ce théorème, on a besoin du théorème suinvant, qui est une<br />
extension <strong>de</strong> la théorie <strong>de</strong> la régularité du paragraphe précé<strong>de</strong>nt<br />
Théorème 2.2.2 Supposons que 1 ≤ p ≤ ∞ et f ∈ L p (Ω). si u ∈H 1 (Ω) est<br />
une solution faible <strong>de</strong> ∆u = f, alors u ∈ W 2,p<br />
loc (Ω).<br />
Preuve.<br />
Le cas N = 1 est évi<strong>de</strong>nt, puisqu’on a<br />
∂ 2 u<br />
∂ 2 x = f<br />
qui appartient à L p (Ω) par hypothèse.<br />
Supposons que N ≥ 2 et définissons<br />
Φ(x) = −2 1 log |x|, si N = 2<br />
2 π
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 30<br />
et<br />
Alors la convolution<br />
|x| 2−N<br />
Φ(x) = −2<br />
N(N − 2)|B(0, 1)| si N ≥ 3<br />
∫<br />
v(x) = − Φ(x − y)f(y)dy (2.10)<br />
Ω<br />
est une solution faible <strong>de</strong> ∆v = f dans Ω. Ainsi w = u − v est harmonique<br />
dans Ω(i.e, ∆w = 0)<br />
on sait d’après le corrolaire 2.1.1 que les fonctions harmoniques sont <strong>de</strong>s fonctions<br />
lisses (<strong>de</strong> classe C ∞ ) et donc pour achever la démonstration, il suffit <strong>de</strong><br />
montrer que v ∈ W 2,p<br />
loc (Ω).<br />
Ceci résulte <strong>de</strong>s estimations <strong>de</strong>s intégrales singulières du type (2.10).[10]<br />
Lemme 2.2.1 Supposons que u ∈H 1 (Ω) ∩ L p (Ω) est une solution faible <strong>de</strong><br />
si p < αN , alors u 2 ∈Lq loc<br />
(Ω) pour un nombre q tel que :<br />
1<br />
q = α p − 2 N<br />
si p > αN 2<br />
, alors u est localement continue Höldérienne.<br />
Preuve. Par (2.9), on a |u| α ∈ L p/α (Ω)<br />
Par conséquent u ∈ W 2,p/α<br />
loc<br />
(Ω) en vertu du théorème 2.2.2.<br />
Et par injection <strong>de</strong> Sobolev, on conclut que<br />
u ∈ L q (Ω) lorsque p < αN 2<br />
et<br />
u ∈ L ∞ (Ω) quand p > αN 2<br />
.<br />
Preuve <strong>de</strong> théorème 2.2.2. Tout d’abord, on a par injection <strong>de</strong> Sobolev<br />
H 1 (Ω) ⊂ L 2∗ que, u ∈ L 2N<br />
N−2 (Ω)<br />
Définissons les nombres p 0 , p 1 , ... par<br />
p 0 =<br />
2N<br />
N − 2 , 1<br />
p k+1<br />
= α p k<br />
− 2 N
CHAPITRE 2. RÉGULARITÉ 31<br />
tant que<br />
p k < αN 2<br />
Le nombre suivant p k+1 est bien défini et positif et le lemme 2.2.1 implique<br />
que u ∈ L p k+1<br />
loc<br />
(Ω).<br />
Quand p k > αN le lemme 2.2.1 montre que u est localement continue<br />
2<br />
Höldérienne.<br />
Si p k = αN , alors p 2 k+1 est indéfini. Mais, dans ce cas,on a u ∈ L q loc (Ω)<br />
pour tout q < αN . 2<br />
Si q est choisi suffisamment proche <strong>de</strong> αN , alors l’application du lemme 2.2.1<br />
2<br />
<strong>de</strong>ux fois montre la continuité Höldérienne locale. Par conséquent, on a à<br />
montrer que p k ≥ αN après un nombre fini d’étapes.<br />
2<br />
Pour ceci, soit<br />
β = α − 1 < 4<br />
N − 2<br />
car α < N+2 par hypothèse.<br />
N−2<br />
Alors<br />
1<br />
− 1 = β − 2 p k+1 p k p k N<br />
Si p k ≥ 2N , alors on obtient<br />
N−2<br />
1<br />
p k+1<br />
− 1 p k<br />
≤<br />
β(N − 2)<br />
2N<br />
− 2 N < 0<br />
Ce qui implique que<br />
p k+1 > p k ≥<br />
2N<br />
N − 2<br />
Et on conclut que tant que p k+1 est bien défini et positif, on a<br />
De plus,<br />
p k+1 ≥ p k ≥<br />
2N<br />
N − 2<br />
1<br />
− 1 ≤ 1 − 1<br />
p k+1 p k p k p k−1<br />
Par conséquent, on a après un nombre fini d’étapes que<br />
p k ≥ αN 2
Chapitre 3<br />
<strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong> et<br />
application<br />
Une autre approche <strong>de</strong> la régularité est basée sur l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong>.<br />
Fixons p ∈ (1, ∞), 0 < r ′ < r l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong> est <strong>de</strong> la forme<br />
∫<br />
∫<br />
|∇u| p dx ≤ C |u| p dx (3.1)<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
B(x 0 ,r)<br />
Une fonction dans W 1,p (B(x 0 , r)) ne satisfait pas forcément (3.1), elle doit<br />
aussi être solution <strong>de</strong> certaines d’E.D.P.<br />
Lorsque c’est le cas cette inégalité nous ai<strong>de</strong> à montrer la régularité.<br />
3.1 Pour l’équation <strong>de</strong> Laplace<br />
∆u = 0 dans Ω (3.2)<br />
Proposition 3.1.1 (<strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong>) Soit x 0 ∈ Ω, 0 < r ′ < r<br />
tels que B(x 0 , r) ⊂ Ω.<br />
Si u satisfait (3.2), alors il existe C > 0 tel que<br />
∫<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
|∇u| 2 dx ≤<br />
C<br />
|u|<br />
(r − r ′ )<br />
∫B(x 2 dx (3.3)<br />
2<br />
0 ,r)<br />
32
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 33<br />
Remarque<br />
– Si u est harmonique, il en est <strong>de</strong> même pour u − C pour n’importe<br />
quelle constante C ∈ R en particulier pour<br />
C =<br />
1<br />
B(x 0 , r)<br />
∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
u = u B(x0 ,r)<br />
Donc, on a l’inégalité suivante :<br />
∫<br />
|∇u| 2 C<br />
dx ≤<br />
|u − u<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
(r − r ′ )<br />
∫B(x 2 B(x0 ,r)| 2 dx (3.4)<br />
0 ,r)<br />
– L’inégalité (3.4) est une sorte d’inverse <strong>de</strong> l’inégalité <strong>de</strong> Poincaré.<br />
Preuve. Soit η ∈ C ∞ 0 (B(x 0 , r)) tel que 0 ≤ η ≤ 1 dans B(x 0 , r), η ≡ 1<br />
dans B(x 0 , r ′ ) et |∇η| ≤ 2<br />
r−r ′ .<br />
On a<br />
∫<br />
On développe<br />
B(x 0 ,r)<br />
∫<br />
∆u (uη 2 ) =<br />
B(x 0 ,r)<br />
∇u.∇(uη 2 ) = ∇u .∇(uη)η + ∇u. ∇η(uη)<br />
∇u ∇(uη 2 ) = 0<br />
= (∇(uη) − u∇η).∇(uη) + (∇(uη) − u∇η).u∇η<br />
= |∇(uη)| 2 − ∇η ∇(uη)u + ∇(uη) .∇ηu − |∇η| 2 u 2<br />
= |∇(uη)| 2 − |∇η| 2 u 2<br />
Par conséquent, on a<br />
∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
∫<br />
|∇(uη)| 2 dx =<br />
B(x 0 ,r)<br />
|∇η| 2 u 2 dx<br />
ce qui implique, par définition <strong>de</strong> η que<br />
∫<br />
∫<br />
|∇u| 2 dx ≤ |∇u| 2 dx<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
B(x 0 ,r)<br />
≤<br />
≤<br />
∫<br />
|∇η| 2 u 2 dx<br />
B(x 0 ,r)<br />
4<br />
u<br />
(r − r ′ )<br />
∫B(x 2 dx<br />
2<br />
0 ,r)<br />
La proposition suivante montre que la norme <strong>de</strong> la solution faible du<br />
laplacien dans L 2 contrôle toutes les normes dans H k
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 34<br />
Proposition 3.1.2 Soit x 0 ∈ Ω, 0 < r ′ < r tel que B(x 0 , r) ⊂ Ω.<br />
Si ∆u = 0 dans Ω, alors<br />
‖u‖ 2 H k (B(x 0 ,r)) ≤ C(r, r′ , k) ‖u‖ 2 L 2 (B(x 0 ,r))<br />
, pour tout k ∈ N<br />
Preuve. Pour k = 1 :<br />
On somme l’inégalité<br />
∫<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
avec l’inégalité (3.3). On trouve<br />
∫<br />
|u| p dx ≤<br />
B(x 0 ,r)<br />
|u| p dx<br />
||u|| H 2<br />
B(x 0 ,r) ′<br />
Pour k = 2 :<br />
Soit r 1 = r+r′<br />
2<br />
<strong>de</strong> sorte que r 1 ∈]r ′ , r[.<br />
≤ C||u|| H 2<br />
B(x0 ,r)<br />
Le laplacien étant un opérateur sous forme divergence à coefficients constants,<br />
alors u est <strong>de</strong> classe C ∞ , on peut donc dériver (3.2) pour tout i ∈ 1, ..., n<br />
vu que la fonction ∂ω<br />
∂x i<br />
est harmonique, on peut appliquer l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong><br />
à ∂ω<br />
∂x i<br />
. Ainsi<br />
∫<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
( )∣ ∂u ∣∣∣<br />
2<br />
∣ ∇ ∂x i<br />
≤<br />
≤<br />
∣<br />
4<br />
∂u ∣∣∣<br />
2<br />
(r 1 − r ′ )<br />
∫B(x 2 ∣<br />
0 ,r 1 ) ∂x i<br />
4<br />
(r 1 − r ′ )<br />
∫B(x 2 |∇u| 2 (3.5)<br />
0 ,r 1 )<br />
En appliquant l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong> à nouveau entre r 1 et r ′ , on trouve<br />
∫<br />
|∇u| 2 4<br />
≤<br />
|u|<br />
B(x 0 ,r 1 ) (r − r 1 )<br />
∫B(x 2<br />
2 0 ,r)<br />
Et en combinant les <strong>de</strong>ux inégalités obtenues, il vient que<br />
D’où<br />
∫<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
( )∣ ∂u ∣∣∣<br />
2 ∫<br />
∣ ∇ ≤ C<br />
∂x i<br />
Et le cas général se fait par itération.<br />
B(x 0 ,r)<br />
‖u‖ 2 H 2 (B(x 0 ,r ′ )) ≤ C ‖u‖2 L 2 (B(x 0 ,r))<br />
|u| 2
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 35<br />
Proposition 3.1.3 (Résultat <strong>de</strong> compacité) Soit r > 0 et (u n ) n∈N une<br />
suite bornée <strong>de</strong> fonctions harmoniques dans B(r).<br />
Alors pour tout 0 < r ′ < r et k ∈ N, il existe une sous-suite (u σ(n) ) n∈N , et<br />
u ∈ H k (B(r)) tel que<br />
u σ(n) → u dans H k (B(r ′ ))<br />
De plus<br />
∆u = 0<br />
Preuve.<br />
Comme la suite (u n ) n∈N est bornée dans L 2 (B(r)), on peut extraire une<br />
sous-suite u σ(n)n telle que<br />
u σ(n) ⇀ u⇐⇒ df<br />
< u σ(n) , ϕ > → < u, ϕ >, ∀ϕ ∈ L 2 (B(r))<br />
et pour tout ϕ ∈ C ∞ 0 (B(r)) par <strong>de</strong>nsité.<br />
D’où ∫ B(r) u∆ϕ = 0, ∀ϕ ∈ C∞ 0 (B(r)) et<br />
∆u = 0<br />
La fonction (u σ(n) − u) étant harmonique, on peut appliquer l’inégalité <strong>de</strong><br />
<strong>Caccioppoli</strong>.<br />
Soit r 1 = r′ +r<br />
2 , on a<br />
∫<br />
B(r 1 )<br />
∫<br />
|∇(u σ(n) − u)| 2 ≤ C<br />
B(r)<br />
|u σ(n) − u| 2 ≤ C<br />
Puisque la suite (u σ(n) − u) est bornée dans H 1 (B(r 1 )), alors<br />
(u σ(n) − u) ⇀ 0 dans H 1 (B(r 1 ))<br />
et par injection <strong>de</strong> Rellich Kondrachov, on aura<br />
En particulier,<br />
(u σ(n) − u) → 0 dans L 2∗ (B(r 1 ))<br />
(u σ(n) − u) → 0 dans L 2 (B(r 1 ))<br />
Appliquons à nouveau l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong>, mais cette fois-ci entre r 1<br />
et r ′ ,<br />
∫<br />
∫<br />
|∇(u σ(n) − u)| 2 ≤ C |u σ(n) − u| 2 → 0<br />
B(r ′ )<br />
B(r 1 )
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 36<br />
Ainsi<br />
u σ(n) → u fortement dans H 1 (B(r ′ ))<br />
et en procédant comme dans la proposition précé<strong>de</strong>nte, on montre que<br />
u σ(n) → u fortement dans H k (B(r ′ ))
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 37<br />
3.2 Pour l’équation <strong>de</strong> Poisson<br />
Soit<br />
∆u = g(x, u, ∇u) dans Ω (3.6)<br />
où g : Ω × R × R N → R est une fonction continue qui vérifie une certaine<br />
constante <strong>de</strong> croissance, à savoir, on suppose qu’ils existent <strong>de</strong>ux constantes<br />
telles que<br />
C 0 > 0 et q > 1<br />
|g(x, y, z)| ≤ C 0 (|z| q + 1), pour tout u ∈ W 1,p (Ω), z ∈ R N<br />
et<br />
Maintenant, on définit<br />
λ = q − 2<br />
1 − q<br />
µ = λ + 1 = 1<br />
q − 1<br />
Lemme 3.2.1 Pour tout δ > 0, il existe r 0 > 0, ε > 0 et θ ∈ (0, 1 ] avec la<br />
2<br />
propriété suivante :<br />
Supposons que<br />
u ∈ W 1,p (Ω)<br />
est une solution faible <strong>de</strong> (3.6) et B(x 0 , r) ⊂ Ω. Si r ≤ r 0 et<br />
∫<br />
r µp−N |∇u| p dx < ε p<br />
alors, soit<br />
ou<br />
∫<br />
B(x 0 ,θr)<br />
r p−N ∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
B(x 0 ,r)<br />
|∇u| p dx ≤ r p<br />
∫<br />
∣ u − uB(x0 ∣ p ,θr) dx ≤ δ r p−N<br />
B(x 0 ,r)<br />
|∇u| p dx
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 38<br />
Preuve.<br />
Raisonnons par l’absur<strong>de</strong>, on suppose que pour un certain δ > 0, pour<br />
tout θ ∈ (0, 1 2 ] fixé, B(x k, r k ) ⊂ Ω tel<br />
et<br />
mais<br />
et<br />
∮<br />
B(x k ,θr k )<br />
r µp−N<br />
k<br />
∫<br />
r p−N<br />
k<br />
B(x k ,r k )<br />
∫<br />
B(x k ,r k )<br />
r k → 0<br />
∫<br />
∣ uk − u B(xk<br />
∣ p ,θr k ) dx > δ r p−N<br />
Notons que (3.8) et (3.9) signifient<br />
|∇u k | p dx = ε p k → 0 (3.7)<br />
|∇u k | p dx > r p k<br />
(3.8)<br />
k<br />
B(x k ,r k )<br />
|∇u k | p dx (3.9)<br />
et<br />
∫<br />
¯<br />
ε p k > rµp k<br />
(3.10)<br />
B(x k , θr k ) ∣ uk − u B(xk<br />
∣ p ,θr k ) dx > δ ε p k r−λp k<br />
(3.11)<br />
en effet, à partir <strong>de</strong> (3.7), on a<br />
∫<br />
B(x k ,r k )<br />
|∇u k | p dx = r −µp+N<br />
k<br />
ε p k<br />
en remplaçant cette <strong>de</strong>rnière en premier temps dans (3.8), on trouve<br />
ε p k > rp−p+N+µp−N<br />
k<br />
d’où (3.10) et ensuite dans (3.9), on obtient<br />
∮<br />
∣<br />
∣ uk − u B(xk ,θr k )<br />
d’où (3.11).<br />
B(x k ,θr k )<br />
∣ p dx > δr p−N−µp+N<br />
k<br />
ε p k = δr(1−µ)p k<br />
ε p k<br />
Définissons<br />
v k (x) = rλ k<br />
ε k<br />
(u k (r k x + x k ) − u B(xk ,θr k ))
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 39<br />
alors on a,<br />
∇v k (x) = rµ k<br />
ε k<br />
∇u k (r k x + x k )<br />
∫<br />
B(0,1)<br />
|∇v k | p dx = rµp−N k<br />
ε p k<br />
∫<br />
B(x k ,r k )<br />
|∇u k | p = 1, par (3.6) (3.12)<br />
<strong>de</strong> plus<br />
∫<br />
B(0,θ)<br />
v k dx = 0 (3.13)<br />
et par (3.11)<br />
∮<br />
B(0,θ)<br />
on calcule aussi<br />
|v k | p dx = rλ+2 k<br />
|u<br />
ε<br />
∮B(x k k − u B (x k , θr k )| p dx > δ (3.14)<br />
k ,θr k )<br />
|∆v k (x)| = rλ+2 k<br />
(∆u k (r k x + x k ))<br />
ε k<br />
donc<br />
∫<br />
B(0,1)<br />
r λ+2<br />
k<br />
≤ C 0 ((|∇u k (r k x + x k )|) q + 1)<br />
ε k<br />
= C 0 (ε q−1<br />
k<br />
r λ+2−µq<br />
k<br />
(<br />
≤ C 0<br />
ε q−1<br />
k<br />
|∇v k | q + rλ+2 k<br />
rk 0 |∇v k | q + rλ+2 k<br />
r µ k<br />
= C 0 (ε q−1<br />
k<br />
|∇v k | q + r k )<br />
)<br />
ε<br />
) k<br />
, par définition <strong>de</strong> λ, µ et (3.10)<br />
∫<br />
|∆v k | ≤ C 0 ε q−1<br />
k<br />
|∇v k | q dx + C 0 |B(0, 1)| r k → 0 quand k → ∞(3.15)<br />
B(0,1)<br />
il vient <strong>de</strong> (3.12) et (3.13) que (v k ) k∈N est bornée dans W 1,p (B(0, 1)),<br />
donc il existe une sous-suite (v kl ) l∈N tel que v kl ⇀ v faiblement dans W 1,p (B(0, 1))<br />
pour un certain v ∈ W 1,p (B(0, 1)).<br />
Pour ϕ ∈ C0 ∞ (B(0.1)), on a<br />
∫<br />
B(0,1)<br />
∫<br />
∇v.∇ϕdx = lim<br />
l→+∞<br />
B(0,1)<br />
∫<br />
∇v kl .∇ϕdx = − lim ∆v kl ϕdx = 0<br />
l→+∞<br />
B(0,1)
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 40<br />
La <strong>de</strong>rnière égalité provient <strong>de</strong> (3.15).<br />
Ainsi, ∆v = 0 dans B(0, 1) et par le corollaire (2.1.1) du chapitre 2<br />
v ∈ C ∞ (B(0, 1))<br />
D’où ∆ ∂u<br />
∂x i<br />
= 0 pour tout i ∈ 1, · · · , N .<br />
le théorème <strong>de</strong> la valeur moyenne pour les fonctions harmoniques nous donne<br />
une constante C 1 telle que<br />
∮<br />
∮<br />
|∇v| p dx ≤ |∇v| p dx ≤ C 1 .<br />
De plus, on a<br />
B(0,θ)<br />
∮<br />
B(0,θ)<br />
et l’inégalité <strong>de</strong> Poincaré implique que<br />
∮<br />
∮<br />
|v| p dx ≤ C 2 θ p<br />
B(0,θ)<br />
B(0,1)<br />
vdx = 0<br />
B(0,θ)<br />
pour une autre constante C 2 et pour C 3 = C 1 C 2<br />
|∇v| p dx ≤ C 3 θ p<br />
D’autre part en vertu du théorème <strong>de</strong> Rellich-Kondrachov, on a v kl<br />
dans L p (B(0, 1)).<br />
D’où (3.14) implique que<br />
∮<br />
|v| p dx ≥ δ<br />
B(0,θ)<br />
Si θ est choisi suffisemment petit, on obtient la contradiction désirée.<br />
→ v<br />
A présent, on a besoin du résultat suivant :<br />
Lemme 3.2.2 (Morrey) supposons que u ∈ W 1,p (Ω) et qu’ils existent <strong>de</strong>ux<br />
nombres α ∈ (0, 1) et a > 0 tels que<br />
∫<br />
r p−n (|∇u|) p dx ≤ a r αp<br />
B(x 0 ,r)<br />
pour toute boule B(x 0 , r) ⊂ Ω alors<br />
u ∈ C 0,α<br />
loc (Ω)
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 41<br />
Preuve. On a<br />
|u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − u B | + |u(y) − u B | or<br />
|u(x) − u B | = lim |u ε (x) − u B |<br />
ε→0<br />
∮ ∫<br />
|∇u(w)|<br />
≤ C<br />
dw dz<br />
B(x 0 ,ε) B |z − w|<br />
n−1<br />
∫ ∮<br />
dz<br />
= C (<br />
|∇u(w)| dw<br />
B B(x 0 ,ε) |z − w|<br />
n−1<br />
∫<br />
|∇u(w)|<br />
≤ C<br />
dw<br />
|x − w|<br />
n−1<br />
De la même manière<br />
∫<br />
|u ε (x) − u B | ≤ C<br />
B<br />
B<br />
|∇u(w)|<br />
dw<br />
|y − w|<br />
n−1<br />
Ainsi<br />
∫<br />
|∇u(w)|<br />
|u(x) − u(y)| ≤ C<br />
B |x − w| dw + |∇u(w)|<br />
dw<br />
∫B<br />
n−1 |y − w|<br />
n−1<br />
≤ C|x − y| ( 1−λ M2diamB|∇u|(x) λ + M2diamB|∇u|(y) )<br />
λ<br />
On prend λ = 1 − α, alors<br />
(∫<br />
≤ 2C|x − y| 1−λ sup r λ |∇u|(z) p dz<br />
0
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 42<br />
Preuve. Choisissons x 0 ∈ Ω, on a<br />
( ∫<br />
lim r→0 r µp−n<br />
B(x 0 ,r)<br />
)<br />
|∇u| p dx = 0<br />
Ainsi pour un δ donné et les nombres correspondants, r 0 , ε et θ du lemme<br />
3.2.1, il existe un rayon R ∈ (0, r 0 ] tel que la condition<br />
∫<br />
r µp−N |∇u| p dx ≤ ε p<br />
B(x 0 ,r)<br />
est satisfaite pour tout r ∈ (0, R] alors soit<br />
∫<br />
r p−n |∇u| p dx ≤ r p<br />
ou<br />
∫<br />
B(x 0 ,θr)<br />
B(x 0 ,r)<br />
(|u − u B (x 0 , θr)|) p dx ≤ δ r p−n ∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
|∇u| p dx<br />
Dans le <strong>de</strong>uxième cas, on combine ça avec l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong> (3.16),<br />
pour σ = θ , on obtient<br />
2<br />
∫<br />
∫<br />
(σr) p−n |∇u| p dx ≤ Cδr p−n |∇u| p dx<br />
B(x 0 ,σr)<br />
On choisit δ <strong>de</strong> telle sorte que Cδ < 1.<br />
2<br />
Alors, on a dans les <strong>de</strong>ux cas<br />
∫<br />
(σr) p−N |∇u| p dx ≤ 1 ∫<br />
2 rp−n<br />
B(x 0 ,σr)<br />
avec C 1 = σ p−N , ce qui veut dire :<br />
Si on définit<br />
f(r) = r p−N ∫<br />
alors,<br />
B(x 0 ,r)<br />
B(x 0 ,r)<br />
B(x 0 ,r)<br />
|∇u| p dx<br />
f(σr) ≤ 1 2 f(r) + C 1r p , r ∈ (0, R]<br />
il s’en suit qu’ils existent <strong>de</strong>ux constantes C 2 , α > 0 avec<br />
f(r) ≤ C 2 f(R)r α<br />
|∇u| p dx + C 1 r p<br />
et par le lemme 3.2.2, on a la continuité Höldérienne locale.
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 43<br />
Définition On dit que l’équation (3.6) est sous-critique si µp > N et critique<br />
si µp = N (pour un choix optimal <strong>de</strong> q). Ces cas sont couverts par le<br />
théorème 3.2.1.<br />
Si µp < N, alors l’équation est sur-critique, et on ne peut pas avoir la régularité<br />
même avec l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong>. Mais sous certaines conditions,<br />
on peut avoir <strong>de</strong>s résultats <strong>de</strong> régularité partielle, si l’ensemble dans lequel<br />
on perd la régularité est petit.<br />
On mesure la dimension d’un tel ensemble en termes <strong>de</strong> mesure <strong>de</strong><br />
Hausdorff.<br />
Pour un ensembe U ⊂ R N , soit<br />
diamU = sup {|x − y| : x, y ∈ U}<br />
Soit d ≥ 0.Pour Σ ⊂ Ω et ρ > 0, définissons<br />
{ ∞<br />
}<br />
∑<br />
∞⋃<br />
Hρ d (Σ) = inf (diam U i ) d : Σ ⊂ U i , (diam U i ) < ρ pour i ∈ N<br />
i=1<br />
i=1<br />
Cette inégalité est monotonne en ρ, d’où la limite<br />
existe.<br />
H d (Σ) = lim ρ→+0 +H d ρ(Σ)<br />
C’est la mesure <strong>de</strong> Hausdorff <strong>de</strong> Σ <strong>de</strong> dimension d.<br />
Théorème 3.2.2 Supposons que q ∈ (1, 2] et n ≥ µp. Si u ∈ W 1,p (Ω) une<br />
solution faible <strong>de</strong> (3.2) qui satisfait l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong> (3.16), alors il<br />
existe un ensemble relativement fermé Σ ⊂ Ω avec H N−µp (Σ) = 0, tel que u<br />
est localement continue Höldérienne dans Ω/Σ.<br />
Pour la preuve, on a besoin du lemme suivant :<br />
Lemme 3.2.3 (le recouvrement <strong>de</strong> Vitali) Soit F une collection arbitraire<br />
<strong>de</strong> boules fermées dans R N avec<br />
sup {diam B|B ∈ F } < ∞
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 44<br />
Alors, il existe une famille fini G <strong>de</strong> collection <strong>de</strong> boules qui sont <strong>de</strong>ux à <strong>de</strong>ux<br />
disjointes telles que<br />
⋃<br />
ˆB<br />
et les boules {B j } j∈J ′<br />
B∈F<br />
⊂ ⋃ B∈G<br />
sont <strong>de</strong>ux à <strong>de</strong>ux disjoints.<br />
Où les ˆB sont les boules concentriques <strong>de</strong> B <strong>de</strong> rayon 5 fois le rayon <strong>de</strong>s<br />
boules B.<br />
Preuve. 1)Soit<br />
D = sup {diam B|B ∈ F }<br />
Posons F j = {B ∈ F tel que D/2 j < diam B < D/2 j−1 } (j = 1, ..., N)<br />
Définissons G j ⊂ F j comme suit :<br />
(a) Soit G 1 une collection <strong>de</strong> boules maximales disjointes dans F 1 .<br />
(b) Supposons que G 1 , G 2 , ..., G k−1 ont été selectionnées, on choisit G d’être<br />
comme toute sous collection maximale disjointe <strong>de</strong><br />
{<br />
}<br />
k−1<br />
⋃<br />
B ∈ F k |B ∩ B ′ = ∅ pour toute boule B ′ ∈ G j<br />
Enfin, on définit<br />
G =<br />
Il est clair que G est une collection <strong>de</strong> boules disjointes et G ⊂ F<br />
∞⋂<br />
j=1<br />
2)Affirmation :<br />
Pour chaque B ∈ F , il existe une boule B ′ ∈ G telle que B ∩ B ′ = ∅ et<br />
B ⊂ ˆB ′ .<br />
En effet :<br />
Fixons B ∈ F , il existe un indice j tel que B ∈ F j et par maximalité <strong>de</strong> G j ,<br />
il existe une boule B ′ ∈ ⋃ j<br />
k=1 G k avec B ∩ B ′ = ∅.<br />
Mais diamB ′ ≥ D2 j et diamB ≤ D 2 j−1 <strong>de</strong> sorte que diamB ≤ 2diam B ′ .<br />
D’où B ⊂ ˆB ′ .<br />
G j<br />
j=1<br />
Preuve du théorème 3.2.3.<br />
correspondants du lemme 3.2.1.<br />
Soit δ > 0 et soient ε, r 0 , θ les nombres
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 45<br />
Définissons<br />
Σ =<br />
{<br />
( ∫<br />
) }<br />
x 0 ∈ Ω : lim inf r µp−N |∇u| p dx ≥ ε<br />
r→0 + B(x 0 ,r)<br />
Supposons que x 0 ∈ Ω/Σ. Alors, il existe un nombre r ∈ (0, r 0 ] tel que les<br />
conditions du lemme 3.2.1 sont satisfaites.<br />
Similairement à la preuve précé<strong>de</strong>nte, on conclut que<br />
∫<br />
(σr) p−N |∇u| p dx ≤ 1 ∫<br />
2 rp−N |∇u| p dx + C 1 r p<br />
B(x 0 ,σr)<br />
pour σ = θ , à condition que δ est assez petit.<br />
2<br />
B(x 0 ,r)<br />
Ainsi, en multipliant l’inégalité précé<strong>de</strong>nte par σ λp , on obtient<br />
∫<br />
( ∫<br />
)<br />
1<br />
(σr) µp−N |∇u| p dx ≤ σ λp 2 rµp−N |∇u| p dx + C 1 r µp<br />
B(x 0 ,σr)<br />
si q ≤ 2, alors λ ≥ 0.<br />
B(x 0 ,r)<br />
D’où le coté droit <strong>de</strong> l’inégalité précé<strong>de</strong>nte est majorée par<br />
ε<br />
2 + C 1r µp<br />
0<br />
et si r 0 est choisi assez petit alors on peut répéter ces arguments pour σr.<br />
On obtient éventuellement<br />
∫<br />
r p−n |∇u| p dx ≤ C 1 r pα (3.17)<br />
B(x 0 ,r)<br />
pour une certaine constante C 1 et α > 0.<br />
De plus, on peut montrer ceci non seulement pour x 0 , mais aussi pour tout<br />
point dans un certain voisinage <strong>de</strong> x 0 .<br />
Ainsi, u est localement continue Höldérienne prés <strong>de</strong> x 0 par le lemme 3.2.2.<br />
De plus, pour chaque ˜x 0 dans ce voisinage, on obtient une inégalité <strong>de</strong> la<br />
forme (3.17). Il s’en suit que<br />
( ∫<br />
)<br />
lim r→0 r µp−n |∇u| p dx = 0<br />
B(˜x 0 ,r)
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 46<br />
Ainsi ˜x 0 /∈ Σ et par conséquent Σ est relativement fermé à Ω.<br />
A présent, on doit estimer la mesure <strong>de</strong> Hausdorff <strong>de</strong> Σ. Soit ρ > 0.Pour<br />
tout x 0 ∈ Ω il existe un rayon r ∈ (0, ρ) tel que<br />
r µp−N ∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
|∇u| p dx ≥ ε 2<br />
(3.18)<br />
La collection <strong>de</strong> ses boules couvre Σ. Par le lemme 3.2.3, on peut choisir<br />
un nombre fini <strong>de</strong> points x i ∈ Σ et leur rayons correspondants r i > 0 qui<br />
satisfont (3.18), tel que<br />
∞∑<br />
Σ ⊂ B(x i , 5r j )<br />
i=1<br />
et B(x i , r i ) ∩ B(x j , r j ) = ∅ pour i ≠ j.<br />
D’où<br />
H N−µp<br />
10ρ (Σ) ≤<br />
∞∑<br />
(10r i ) N−µp ≤ 10 N−µp 2 ε<br />
i=1<br />
∞∑<br />
∫<br />
i=1<br />
B(x i ,r i )<br />
|∇u| p dx<br />
≤ 10 N−µp 2 ε ‖∇u‖p L p (Ω)<br />
(3.19)<br />
D’où H N−µp (Σ) < ∞, (car n − µp < N).<br />
Il s’en suit que Σ est un ensemble nulle pour la mesure <strong>de</strong> Lebesgue .<br />
Définissons<br />
U p = {x ∈ Ω : dist(x, Σ) < ρ}<br />
Alors, on obtient l’amélioration <strong>de</strong> (3.19) suivante :<br />
D’où H N−µp (Σ) = 0<br />
H N−µp (Σ) ≤ 10 N−µp 2 ε ‖∇u‖p L p (U 5ρ ) → 0 quand ρ → 0
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 47<br />
3.3 Pour div(A∇u) = 0<br />
Dans tout ce qui suit, on suppose la condition d’ellipticité suivante :<br />
β|ξ| 2 ≤<br />
N∑<br />
a i,j (x)ξ i . ξ j ≤ γ|ξ| 2<br />
i,j=1<br />
Proposition 3.3.1 (<strong>Inégalité</strong> <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong>) Soient u ∈ H 1 (Ω) solution<br />
<strong>de</strong> Lu = 0.0 < r ′ < r tel que B(x 0 , r) ⊂ Ω.<br />
Alors, il existe une constante C > 0 telle que<br />
∫<br />
|∇u| 2 dx ≤<br />
C |u|<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
r − r<br />
∫B(x 2 dx<br />
′<br />
0 ,r)<br />
Remarque :<br />
On ne peut pas espérer que u ∈ H k loc (Ω)<br />
Preuve.<br />
∫<br />
Ω<br />
div(A(x)∇u) uη 2 dx = −<br />
On développe l’intégrante<br />
N∑<br />
∫<br />
i,j=1<br />
∂u ∂(uη 2 )<br />
= ∂u ∂η<br />
(uη) + ∂u ∂(uη)<br />
η<br />
∂x i ∂x j ∂x i ∂x j ∂ i ∂x j<br />
( ∂(uη)<br />
= − ∂η ) ∂η<br />
u u +<br />
∂x i ∂x i ∂x j<br />
= ∂(uη)<br />
∂x i<br />
∂(uη)<br />
∂x j<br />
La symétrie <strong>de</strong>s a i,j implique que<br />
N∑<br />
i,j=1<br />
a i,j (x) ∂u<br />
∂x i<br />
∂(uη 2 )<br />
∂x j<br />
=<br />
N∑<br />
i,j=1<br />
+ ∂(uη)<br />
∂x i<br />
Ω<br />
a i,j (x) ∂u ∂(uη 2 )<br />
dx<br />
∂x i ∂x j<br />
( ∂(uη)<br />
∂x i<br />
∂η<br />
u − ∂η ∂(uη)<br />
∂x j ∂x i ∂x j<br />
a i,j (x) ∂(uη) ∂(uη)<br />
−<br />
∂x i ∂x j<br />
− ∂η ) ∂(uη)<br />
u<br />
∂x i ∂x j<br />
N∑<br />
i,j=1<br />
u − ∂η<br />
∂x i<br />
∂η<br />
∂x j<br />
u 2<br />
a i,j (x) ∂η<br />
∂x i<br />
∂η<br />
∂x j<br />
u 2
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 48<br />
Et par l’ellipticité <strong>de</strong> la matrice A<br />
∫<br />
β<br />
Ω<br />
|∇(uη)| 2 dx<br />
≤<br />
=<br />
≤<br />
≤<br />
N∑<br />
∫<br />
i,j=1<br />
N∑<br />
∫<br />
i,j=1<br />
∫<br />
γ<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
a i,j (x) ∂(uη) ∂(uη)<br />
∂x i ∂x j<br />
a i,j (x) ∂η<br />
∂x i<br />
∂η<br />
∂x j<br />
u 2 dx<br />
|∇η| 2 |u| 2 dx<br />
4γ<br />
|u|<br />
(r − r ′ )<br />
∫B(x 2 dx<br />
2<br />
0 ,r)<br />
: dx<br />
Proposition 3.3.2 (Résultat <strong>de</strong> compacité) Soit r > 0 et (u n ) n∈N une<br />
suite <strong>de</strong> solutions <strong>de</strong><br />
Lu n = 0<br />
telle que<br />
la suite(u n ) n∈N ∈ H 1 (B(r)), pour tout n ∈ N (u n ) n∈N bornée dans L 2 (B(r)).<br />
Alors, pour tout 0 < r ′ < r et k ∈ N, il existe une sous-suite (u σ(n) ) n∈N<br />
telle que<br />
u σ(n) → u dans H 1 (B(r ′ ))<br />
De plus<br />
Lu = 0 dans B(r ′ )<br />
Preuve. la preuve est i<strong>de</strong>ntique à celle <strong>de</strong> la proposition 3.1.3<br />
Lemme 3.3.1 (Généralisation <strong>de</strong> l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong>) Soient u ∈<br />
H 1 (Ω) une solution <strong>de</strong> Lu = 0, x 0 ∈ Ω , r > 0 tels que B(x 0 , r) ∈ Ω.<br />
Si<br />
Alors, pour tout η ∈ C ∞ 0 (B(x 0 , r)),<br />
|u| p+1 ∈ L 1 (B(x 0 , r)) avec p ≥ 1 , (3.20)<br />
et<br />
∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
|u| p+1<br />
2 η ∈ H 1 (B(x 0 , r))<br />
|∇(|u| p+1<br />
2 η)| 2 ≤ C(p + 1) 2 ∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
|u| p+1 |∇η| 2 (3.21)
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 49<br />
Commentaire<br />
– Si p = 1, on retrouve l’inégalité <strong>de</strong> <strong>Caccioppoli</strong>.<br />
– Pour p ≤ 2 ∗ − 1, la propriété (3.20) est automatiquement vérifiée grâce<br />
à l’injection <strong>de</strong> Sobolev H 1 (B(x 0 , r)) ⊂ L 2∗ (B(x 0 , r)).<br />
Notons que<br />
Preuve. On a<br />
∫<br />
On prend<br />
N∑<br />
Ω i,j=1<br />
2 ∗ − 1 = n + 2<br />
n − 2 > 1<br />
a i,j (x) ∂u<br />
∂x i<br />
∂v<br />
∂x j<br />
dx = 0, ∀v ∈ H 1 0(Ω) (3.22)<br />
v + = u p + η 2<br />
v − = u p − η 2<br />
Etape 1 :<br />
On suppose en premier lieu que u ∈ L ∞ (Ω) (on va voir après comment s’en<br />
débarrasser <strong>de</strong> cette hypothèse) on a donc<br />
On développe<br />
N∑<br />
∫<br />
i,j=1<br />
Ω<br />
a i,j<br />
∂u<br />
∂x i<br />
∂(u + η 2 )<br />
∂x j<br />
= 0<br />
∂u ∂(u p +η 2 )<br />
= ∂u ∂(u p +)<br />
η 2 + ∂u u p +<br />
∂x i ∂x j ∂x i ∂x j ∂x i<br />
= pu p−1 ∂u + ∂u +<br />
+<br />
∂x i<br />
On a les relations suivantes<br />
et<br />
∂(u p+1<br />
2<br />
+ η) ∂(u p+1<br />
2<br />
+ η)<br />
=<br />
∂x i ∂x j<br />
∂u p+1<br />
2<br />
+ ∂u p+1<br />
2<br />
+<br />
=<br />
∂x i ∂x j<br />
=<br />
= I 1 + I 2<br />
( p + 1<br />
2<br />
( p+1<br />
∂u+ 2<br />
η + u p+1<br />
∂x +<br />
2<br />
i<br />
∂x j<br />
η 2 + u p +<br />
∂η 2<br />
∂x j<br />
) 2<br />
u p−1 ∂u + ∂u +<br />
+<br />
∂x i ∂x j<br />
∂u +<br />
∂x i<br />
∂η 2<br />
∂x j<br />
)( p+1<br />
∂η ∂u+ 2<br />
η + u p+1<br />
∂x i ∂x +<br />
2<br />
j<br />
p+1<br />
2<br />
∂u+<br />
∂u p+1<br />
2<br />
+<br />
η 2 + u p+1 ∂η ∂η<br />
+ + p + 1<br />
∂x i ∂x j ∂x i ∂x j 4<br />
)<br />
∂η<br />
∂x j<br />
u p +<br />
( ∂u+ ∂η 2<br />
+ ∂u )<br />
+ ∂η 2<br />
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 50<br />
Ainsi<br />
I 1 =<br />
4p ∂u p+1<br />
2<br />
+ ∂u p+1<br />
2<br />
+<br />
η 2<br />
(p + 1) 2 ∂x i ∂x j<br />
=<br />
[ p+1<br />
4p ∂(u<br />
2<br />
+ η) ∂(u p+1<br />
2<br />
+ η)<br />
− u p+1 ∂η ∂η<br />
(p + 1) 2 + − p + 1<br />
∂x i ∂x j ∂x i ∂x j<br />
4 up +<br />
( ∂u+<br />
∂x i<br />
∂η 2<br />
∂x j<br />
+ ∂u +<br />
∂x j<br />
∂η 2<br />
∂x i<br />
)]<br />
∫<br />
Par conséquent, (3.22) est équivalente à<br />
p+1<br />
N∑<br />
2<br />
∂(u+ η)<br />
a i,j (x)<br />
Ω i,j=1<br />
∂(u p+1<br />
2<br />
+ η)<br />
= p + 1 ∫<br />
∂x i ∂x j 4<br />
+<br />
∫<br />
Ω i,j=1<br />
Et puisque les a i,j sont symétriques, on déduit<br />
N∑<br />
a i,j u p +<br />
Ω i,j=1<br />
N∑<br />
a i,j (x)<br />
(<br />
u p+1<br />
+<br />
( ∂u+ ∂η 2<br />
+ ∂u )<br />
+ ∂η 2<br />
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i<br />
)<br />
∂η ∂η (p + 1)2<br />
− u p ∂u + ∂η 2<br />
+<br />
∂x i ∂x j 4p ∂x i ∂x j<br />
∫<br />
p+1<br />
N∑<br />
2<br />
∂(u+ η)<br />
a i,j (x)<br />
Ω i,j=1<br />
∂(u p+1<br />
2<br />
+ η)<br />
=<br />
∂x i ∂x j<br />
+<br />
∫<br />
∫<br />
N∑<br />
Ω i,j=1<br />
N∑<br />
Ω i,j=1<br />
a i,j (x)u p+1<br />
+<br />
∂η<br />
∂x i<br />
∂η<br />
∂x j<br />
( p + 1<br />
a i,j (x) −<br />
2<br />
)<br />
(p + 1)2<br />
u p ∂u + ∂η 2<br />
+<br />
4p ∂x i ∂x j<br />
Et par la condition d’ellipticité, on obtient<br />
∫<br />
β<br />
∫<br />
∣<br />
∣∇(u p+1 2<br />
2<br />
+ η) ∣ ≤<br />
Ω<br />
p+1<br />
N∑<br />
2<br />
∂(u+ η)<br />
a i,j (x)<br />
Ω i,j=1<br />
∂(u p+1<br />
2<br />
+ η)<br />
∂x i ∂x j<br />
∫<br />
Ω<br />
u p+1<br />
+<br />
N∑<br />
i,j=1<br />
a i,j (x) ∂η ∫<br />
∂η<br />
≤ γ u p+1<br />
+ |∇η| 2<br />
∂x i ∂x j Ω<br />
et<br />
∫<br />
N∑<br />
Ω i,j=1<br />
a i,j (x)u p ∂u + ∂η 2<br />
+ =<br />
∂x i ∂x j<br />
≤<br />
∫<br />
N∑<br />
Ω i,j=1<br />
∫<br />
2γ<br />
Ω<br />
2η ∂u +<br />
∂x i<br />
∂η<br />
∂x j<br />
u p +<br />
ηu p +|∇u + ||∇η|
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 51<br />
D’où<br />
∫<br />
β<br />
∫<br />
∣<br />
∣∇(u p+1 2<br />
2<br />
+ η) ∣ ≤ γ<br />
Ω<br />
Ω<br />
∫<br />
u p+1<br />
+ |∇η| 2 + (p + 1)γ ηu p +|∇u + ||∇η| (3.23)<br />
Ω<br />
Afin d’avoir l’inégalité désirée, on doit se débarrasser du terme non<br />
symétrique <strong>de</strong> l’inégalité obtenue précé<strong>de</strong>nte.<br />
En effet, on applique l’inégalité <strong>de</strong> Young avec<br />
On obtient<br />
a = √ εηu p−1<br />
2<br />
+ |∇u + | et b = 1 ε u p+1<br />
2<br />
+ |∇η| avec ε > 0<br />
η u p +|∇u + ||∇η| ≤ 1 2<br />
D’autre part, le calcul<br />
p−1<br />
2<br />
ε(ηu+ |∇u + |) 2 + ε−1<br />
2 up+1 + |∇η| 2<br />
implique que<br />
∇(u p+1<br />
2<br />
+ η) = ∇η u p+1<br />
2<br />
+ + p + 1<br />
2 η u p−1<br />
2<br />
+ ∇u +<br />
D’où<br />
η u p |∇u + ||∇η|<br />
Ainsi<br />
η u p−1<br />
2<br />
+ ∇u + ≤ 2<br />
p+1<br />
2<br />
(|∇(u+ η)| + |∇η|u p+1<br />
2<br />
p + 1<br />
≤<br />
=<br />
+<br />
+ )<br />
2ε<br />
p+1<br />
2<br />
(|∇(u<br />
(p + 1)<br />
2 + η)| + |∇η|u p+1<br />
2<br />
+ ) 2 + ε−1<br />
2 up+1 + |∇η| 2<br />
2ε<br />
p+1<br />
2<br />
|(∇(u<br />
(p + 1)<br />
2 + η)| 2 2ε<br />
+ (<br />
(p + 1) + ε−1<br />
2 2 )|∇η|2 u p+1<br />
+<br />
4ε<br />
p+1<br />
2<br />
|(∇(u<br />
(p + 1)<br />
2 + η)| |∇η|u p+1<br />
2<br />
+<br />
et par l’inégalité <strong>de</strong> Yonug à nouveau, on a<br />
|(∇(u p+1<br />
2<br />
+ η)| |∇η|u p+1<br />
2<br />
+ ≤ 1 2 |∇η|2 u p+1<br />
+ + 1 2<br />
p+1<br />
2<br />
|(∇(u+ η)| 2<br />
∫<br />
Ω<br />
η u p |∇u + ||∇η| dx ≤<br />
4ε<br />
( ) ∫<br />
∣<br />
∣∇(u<br />
(p + 1)<br />
∫Ω<br />
p+1 2<br />
2<br />
4ε<br />
2 + η) ∣ +<br />
(p + 1) + ε−1<br />
|∇η| 2 u p+1<br />
2 + (3.24)<br />
2 Ω
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 52<br />
De (3.23) et (3.24), on conclut que<br />
(β − C ε<br />
(<br />
) ∫<br />
p + 1<br />
∫Ω<br />
) ∣<br />
∣∇(u p+1 2<br />
2<br />
ε<br />
+ η) ∣ ≤ 1 +<br />
(p + 1) + ε−1 (p + 1) |∇η| 2 u p+1<br />
+<br />
Ω<br />
Donc, si on choisit ε assez petit, on obtient l’inégalité désirée pour v − .<br />
On procè<strong>de</strong> <strong>de</strong> la même manière pour v −<br />
Etape 2 :<br />
Ici, on ne suppose plus que u ∈ L ∞ (Ω) et au lieu <strong>de</strong> prendre v + et v − comme<br />
fonctions tests, on introduit <strong>de</strong>s troncatures au niveau N, puis on passe à la<br />
limite.<br />
Plus précisément, posons pour n ∈ N ∗<br />
{<br />
u+ si u<br />
u +,N =<br />
+ ≤ N<br />
N si u + ≥ N<br />
<strong>de</strong> sorte que<br />
∇u +,N =<br />
{ ∇u si 0 ≤ u(x) ≤ N<br />
0 si u(x) ≥ N ou u(x) ≤ 0<br />
On prend comme fonction test :v +,N = u p−1<br />
+,N u η2 et on procè<strong>de</strong> <strong>de</strong> la même<br />
manière que la première étape, on trouve<br />
∫<br />
Ω<br />
|∇(u p+1<br />
2<br />
+ η)| 2 +<br />
∫<br />
Ω<br />
∫<br />
N p−1 |∇u| 2 ηχ u≥N ≤ C<br />
Ω<br />
u p+1<br />
+ |∇η| 2<br />
Puisque la suite u p+1<br />
2<br />
+,N η est bornée dans H1 0(Ω) et u +,N → u + pour presque<br />
tout x ∈ Ω, alors<br />
u p+1<br />
2<br />
+ η ∈ H0(Ω)<br />
1<br />
D’où<br />
et<br />
u p+1<br />
2<br />
+,N η ⇀ u p+1<br />
2<br />
+ η faiblement dans H0(Ω)<br />
1<br />
u p+1<br />
2<br />
+,N η → u p+1<br />
2<br />
+ η faiblement dans L 2 (Ω)<br />
Par semi continuité inférieure, on a<br />
∫<br />
∫<br />
|∇(u p+1<br />
2<br />
+ η)| 2 ≤ lim inf |∇(u p+1<br />
2<br />
+,N<br />
Ω<br />
N→∞<br />
η)|2<br />
∫<br />
Ω<br />
≤ C |u + | p+1 |∇η| 2<br />
Ce qui achève la démonstration.<br />
Posons λ = 2∗ 2 = N<br />
N−2 > 1<br />
Ω
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 53<br />
Lemme 3.3.2 Soient u ∈ Hloc 1 (Ω) une solution <strong>de</strong><br />
Lu = 0<br />
On suppose <strong>de</strong> plus qu’il existe q > 2 tel que u ∈ L q loc (Ω).<br />
Alors, pour tout x 0 ∈ Ω, 0 < r ′ < r tels que B(x 0 , r) ⊂ Ω, on a<br />
(∫ ) 1<br />
|u| λq λ<br />
(1 + q) 2<br />
≤ C |u|<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
(r − r ′ )<br />
∫B(x q<br />
2 0 ,r)<br />
En particulier, pour tout compact K <strong>de</strong> Ω,<br />
i.e., u ∈ L λq<br />
loc (Ω).<br />
u ∈ L λq (K),<br />
Preuve. soit η une fonction plateau définie comme précé<strong>de</strong>mment<br />
On a par hypothèse que u ∈ L q loc (Ω), ce qui implique que u ∈ L1 loc (Ω) or<br />
d’après le lemme 3.3.1,<br />
|u| q 2 η ∈ H<br />
1<br />
0 (Ω)<br />
et par injection <strong>de</strong> Sobolev<br />
|u| q 2 η ∈ L<br />
2 ∗<br />
loc(Ω)<br />
On a donc<br />
(∫<br />
(|u| q 2 η)<br />
2∗<br />
B(x 0 ,r)<br />
) 1<br />
(∫<br />
2 ∗ ≤ C<br />
(|∇(u q 2 η)|)<br />
2<br />
B(x 0 ,r)<br />
) 1<br />
2<br />
Et par conséquent<br />
(∫ ) 1<br />
|u| λq λ<br />
B(x 0 ,r ′ )<br />
≤<br />
≤<br />
≤<br />
(∫<br />
)<br />
C |∇(|u| q 2 η)|<br />
2<br />
B(x 0 ,r)<br />
∫<br />
Cq 2 |u| q |∇η| 2 (par le lemme 3.3.1)<br />
B(x 0 ,r)<br />
q 2<br />
C<br />
|u|<br />
(r − r ′ )<br />
∫B(x q<br />
2 0 ,r)
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 54<br />
Proposition 3.3.3 (Itération <strong>de</strong> Moser) Soient u ∈ Hloc 1 (Ω) une solution<br />
<strong>de</strong> Lu = 0, x 0 ∈ Ω, r > 0 tel que B(x 0 , r) ⊂ Ω.<br />
Alors, pour tout s < ∞,<br />
u ∈ B(x 0 , r 2 ) et<br />
( ∫<br />
B(x 0 , r 2 ) |u| s ) 1<br />
s<br />
(∫ ) 1<br />
≤ C(r, s) |u| 2 2<br />
B(x 0 ,r)<br />
Il en résulte que u ∈ L s (K), pour tout compact K ⊂ Ω.i.e u ∈ L s loc (Ω).<br />
Preuve. Posons<br />
q i = λq i−1 pour i = 1, ..., N avec q 0 = 2.<br />
Donc q i = 2λ i est une suite croissante et q i → ∞ quand i → ∞. et r i =<br />
r<br />
+ r<br />
2<br />
<strong>de</strong> sorte que la suite (r<br />
2 i+2 i ) i∈N décroit <strong>de</strong> r 0 à r 2<br />
On a alors<br />
r i − r i+1 = r/2 i+2<br />
Puisque u ∈ H 1 0(B(x 0 , r)) alors u ∈ L 2 .<br />
D’autre part, on a q i > 2 pour tout i ∈ 1, ... alors si u ∈ L q i<br />
, on obtient en<br />
vertu du lemme 3.3.1,<br />
(∫<br />
ce qui implique<br />
(∫<br />
|u| λq i<br />
B(x 0 ,r i+1 )<br />
|u| q i+1<br />
B(x 0 ,r i+1 )<br />
) 1<br />
λq i<br />
) 1<br />
2λ i+1<br />
(<br />
qi<br />
2 ≤ C<br />
|u|<br />
r i − r i+1<br />
∫B(x q i<br />
0 ,r i )<br />
(<br />
qi<br />
2 ≤ C<br />
|u|<br />
2 −2(i+1) r<br />
∫B(x q i<br />
2<br />
0 ,r i )<br />
) 1/qi<br />
) 1<br />
2λ i<br />
ce qui signifie que : si u ∈ L q i<br />
(B(x 0 , r i )) alors u ∈ L q i+1<br />
(B(x 0 , r i+1 )) et<br />
(∫<br />
|u| q i<br />
B(x 0 ,r i+1 )<br />
) 1<br />
λ i<br />
∏i−1<br />
( )<br />
q 2 1<br />
i<br />
≤ C<br />
2 −2(i+1) r 2<br />
k=0<br />
On fait tendre i → ∞ alors q i → ∞ et r i ≥ r 2 .<br />
Ce qui achève la démonstration.<br />
λ k ∫ B(x 0 ,r i )<br />
Lemme 3.3.3 Il existe une constante k 0 ne dépendant que <strong>de</strong> β et γ telles<br />
que<br />
K(i, r) → r −n k 0<br />
|u| 2
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 55<br />
avec<br />
Preuve. Ecrivons<br />
α(k, r) =<br />
K(i, r) =<br />
i∏<br />
α(k, r)<br />
k=0<br />
( C(1 + qk ) 2<br />
r 2 4 −k+1 ) 1<br />
λ k , pour tout k ∈ N<br />
Afin d’étudier le produit, on passe au logarithme, soit<br />
( )<br />
C(1 +<br />
log α(k, r) = λ −k qk ) 2<br />
log<br />
r 2 4 −k+1<br />
= 2λ −k ( √log<br />
C − log r + log<br />
( 1 + qk<br />
2 −k+1 ))<br />
D’où<br />
log K(k, r) =<br />
=<br />
i∑<br />
k=0<br />
λ −k<br />
( )<br />
C(1 + qk ) 2<br />
log<br />
r 2 4 −k+1<br />
i∑<br />
λ −k (log C − 2 log r) + 2<br />
k=0<br />
i∑<br />
k=0<br />
( ) 1 +<br />
λ −k qk<br />
log (3.25)<br />
2 −k+1<br />
Comme λ > 1, alors le premier terme converge.<br />
En effet,<br />
∞∑<br />
λ −k 1<br />
=<br />
1 − λ = N −1 2<br />
Donc<br />
k=0<br />
∑<br />
iλ −k (log C − 2 log r) → N (log C − 2 log r), quand i → ∞<br />
2<br />
k=0<br />
ce qui est équivalent à écrire que<br />
i∑<br />
λ −k (log C − 2 log r) → log Cr −N , i → ∞<br />
k=0<br />
et le <strong>de</strong>rnier terme <strong>de</strong> (3.25) est indépendant <strong>de</strong> r, et<br />
( ) 1 + qk<br />
log = log (1 + q<br />
2 −k+1 k ) + (k + 1) log 2<br />
où q k = 2λ k
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 56<br />
log (1 + q k ) = log (1 + 2λ k ) ≈ k log λ lorsque k → ∞<br />
En regroupant les calculs précé<strong>de</strong>nts, on obtient<br />
log K(i, r) → log(r −N ) + C 0<br />
Les calculs précé<strong>de</strong>nts vont nous permettre <strong>de</strong> montrer que u ∈ L ∞ loc (Ω),<br />
mais on a besoin du résultat <strong>de</strong> la théorie <strong>de</strong> mesure suivant :<br />
Lemme 3.3.4 soient A un ensemble Borélien <strong>de</strong> R n <strong>de</strong> mesure non nulle,<br />
f une fonction mesurable sur A.<br />
Supposons qu’ils existent <strong>de</strong>s constantes M 0 > 0, s 0 > 1 telles que<br />
(∫ ) 1<br />
|f(x)| s s<br />
≤ M0 , pour tout s ≥ s 0<br />
A<br />
Alors<br />
et<br />
f ∈ L ∞ (A)<br />
|f(x)| ≤ M 0 , pour presque tout x ∈ A<br />
Preuve. Pour ε > 0, on considère l’ensemble<br />
W ε = {x ∈ A, |f(x)| ≥ M 0 + ε}<br />
On a<br />
∫<br />
|W ε | 1 r (M0 + ε) ≤ ( |f(x)| r ) 1 r ≤ M0 , pour tout r > r 0<br />
W ε<br />
Raisonnons par l’absur<strong>de</strong>, et supposons que |W ε | ≠ 0, alors<br />
et l’inégalité précé<strong>de</strong>nte donne<br />
|W ε | 1 r → 1 lorsque r → ∞<br />
M 0 + ε ≤ M 0<br />
ce qui est impossible, donc<br />
Il en résulte alors que<br />
|W ε | = 0<br />
est <strong>de</strong> mesure nulle<br />
W = x ∈ A, |f(x)| ≥ M 0 = ⋂ ε>0<br />
W ε = ⋂ n∈N<br />
W 1<br />
n
CHAPITRE 3. INÉGALITÉ DE CACCIOPPOLI ET APPLICATION 57<br />
Théorème 3.3.1 Soit u ∈ Hloc 1 (Ω) solution <strong>de</strong><br />
Lu = 0 sur Ω<br />
Alors, pour tout x 0 ∈ Ω, r > 0 tel que B(x 0 , r) ⊂ Ω, on a<br />
En particulier, u ∈ L ∞ loc (Ω).<br />
( ∫<br />
1<br />
|u(x)| ≤ k 1<br />
|B(x 0 , r)|<br />
B(x 0 ,r)<br />
|u| 2 ) 1<br />
2<br />
Preuve. On a à partir <strong>de</strong> la proposition 3.3.3 et sa preuve que<br />
( ∫<br />
B(x 0 , r 2 ) |u| q k+1) 1<br />
λ k+1 ≤ K(k, r)<br />
∫<br />
et comme q k+1 = 2λ k+1 , on a<br />
( ∫<br />
B(x 0 , r 2 ) |u| q k+1) 1<br />
q k+1<br />
≤ √ K(k, r)<br />
∫<br />
et à partir du lemme 3.3.3, on a<br />
B(x 0 ,r)<br />
B(x 0 ,r)<br />
|u| 2 , ∀k ∈ N<br />
|u| 2 , ∀k ∈ N<br />
K(k, r) → k 0 r −n<br />
quand k → ∞<br />
il existe donc k 0 ∈ N ∗ tel que, pour k ≥ k 0<br />
K(k, r) ≤ 2k 0 r −n<br />
Ainsi, pour tout r ≥ q k0 +1,<br />
(∫ ) 1<br />
|u| r r<br />
B(x 0 ,r)<br />
≤ √ 2k 0<br />
( 1<br />
≤<br />
√ 2k 0 |B(1)|<br />
r n ∫B(x 0 ,r)<br />
( 1<br />
|B(1)|<br />
|u| 2 ) 1<br />
2<br />
∫<br />
B(x 0 ,r)<br />
|u| 2 ) 1<br />
2<br />
La conclusion découle du lemme 3.3.4.
Bibliographie<br />
[1] F. Bethuel , Equations elliptiques linéaires et non linéaires, université<br />
Pierre et Marie Curie, 2001-2002.<br />
[2] H. Brézis, Analyse fonctionnelle Théorie et applications, Dunod, 1999.<br />
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58