TP - La dichotomie - Dropbox
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<strong>La</strong> <strong>dichotomie</strong><br />
F2<br />
Le B.O. : « (Algorithme) on pourra approcher la solution de l’équation f (x) = k par <strong>dichotomie</strong><br />
ou balayage avec la calculatrice ou l’ordinateur. »<br />
<br />
Théorème (le corollaire du T.V.I.)<br />
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b]. Alors pour tout<br />
réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un unique c ∈ [a,b] tel que f (c) = k.<br />
Exemple<br />
Soit f une fonction correspondant au tableau de variations ci-dessous<br />
x<br />
1 c<br />
3<br />
f (x)<br />
-1<br />
0<br />
7<br />
Alors l’équation f (x) = 0 admet une unique solution c dans l’intervalle [1 ; 3].<br />
Exercice<br />
Soit f la fonction définie sur [1 ; 3] par f (x) = x 2 − 2.<br />
Il est évident que cette fonction est continue et strictement croissante sur l’intervalle<br />
[1 ; 3]. Comme 0 ∈ [f (1) ; f (3)], l’équation f (x) = 0 admet, d’après le corollaire du T.V.I.,<br />
une solution unique c comprise dans [1 ; 3].<br />
Le but de ce <strong>TP</strong> est d’écrire un algorithme puis un programme permettant d’obtenir un<br />
encadrement de c (c’est-à-dire de √ 2) à une amplitude donnée.<br />
1. À la main.<br />
On sait que c ∈ [a ; b] avec a = 1 et b = 3 (on a bien f (a) < 0 et f (b) > 0). On a donc un<br />
encadrement de c d’amplitude 2.<br />
a) Donner le signe de f ( )<br />
a+b<br />
2 (voir figure p.2) et en déduire un encadrement de c<br />
d’amplitude plus petite que celle de [a ; b]; préciser l’amplitude de votre nouvel<br />
encadrement.<br />
b) Réitérer cette méthode pour obtenir un encadrement de c d’amplitude<br />
16 1 en complétant<br />
le tableau ci-dessous :<br />
signe def ((a + b)/2)<br />
a avec f (a) < 0 1<br />
b avec f (b) > 0 3<br />
amplitude e 2<br />
Lycée Paul Valéry 1/2
Approximation de la solution de f (x) = k par <strong>dichotomie</strong><br />
TS<br />
2. Compléter l’algorithme ci-dessous permettant de déterminer un encadrement de c<br />
d’une amplitude inférieure à e<br />
Algorithme : <strong>dichotomie</strong><br />
Données : l’amplitude e<br />
Résultat : un encadrement de la solution de x 2 − 2 = 0 d’amplitude inférieure à e<br />
Variables : deux réels a et b<br />
début<br />
a ← 1 ; b ← 3 ;<br />
tant que . . . faire<br />
si . . . alors<br />
. . .<br />
sinon . . .<br />
fin si<br />
fin tq<br />
retourner (a,b)<br />
fin<br />
3. Programmer cet algorithme avec XCAS et utiliser votre programme pour obtenir un<br />
encadrement de c d’amplitude inférieure à 10 −5 .<br />
<br />
y<br />
C f<br />
1<br />
1 3<br />
x<br />
Lycée Paul Valéry 2/2