Chapitre 2 STATIQUE DES CORPS RIGIDES

CTN-258 : Statique et dynamique
Chapitre 2 STATIQUE DES CORPS RIGIDES
2.1 Introduction
Les objectifs de ce chapitre sont :
• Apprendre à substituer un groupe de forces agissant sur une particule par une
force résultante ayant le même effet;
• Apprendre et maitriser les opérations de calculs vectoriels et scalaires.
2.2 FORCES DANS LE PLAN
2.2.1 Force sur une particule. Résultante de deux forces
Une force se définit par : un point de contact, une intensité et une direction (ligne
d’action et sens). Les forces appliquées sur un corps rigide peuvent être séparées en deux
groupes : les forces intérieures et les forces extérieures. Les forces intérieures
représentent l’interaction entre l’ensemble des points matériels constituant le corps rigide.
La majorité des quantités physique en mécanique peuvent être définies
mathématiquement par des scalaires et des vecteurs.
2.2.2 Scalaires
Un scalaire est une quantité caractérisée par un nombre positif ou négatif. Par exemple,
une masse, un volume, le temps et une longueur sont des scalaires car ils ont une
intensité, mais pas de direction ou de sens. Nous utiliserons les caractères italiques dans
cet ouvrage pour définir un scalaire.
2.3 Vecteurs
Les quantités se définissant par une intensité et une direction (forces, vitesse,
déplacement, accélérations, quantité de mouvement) peuvent être représentées par des
vecteurs. Par opposition un scalaire est une quantité ayant une intensité seulement
(temps, volume, masse, énergie).
Les vecteurs sont des expressions mathématiques ayant une intensité et une direction, et
pouvant s’additionner selon la loi du parallélogramme ou du triangle. Ils sont représentés
par des flèches.
2-1

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
sens
grandeur
2m
30 o
P
direction
Figure 2.1
P ≡ P
r
≡
Représentation vectorielle (en caractère gras)
P
L’intensité de la force est définie par la longueur du vecteur : P (en italique!)
P
P
P -P
P = P P + (-P) = 0
Vecteur égaux
Vecteurs égaux mais opposés
Figure 2.2 Figure 2.3
Il existe trois catégories de vecteurs; 1) les vecteurs libres, 2) les vecteurs glissants et 3)
les vecteurs liés.
Vecteur libre :
vecteur qui peut se déplacer librement dans l’espace sans changer les
conditions du problème;
Vecteur glissant : vecteur qui peut glisser le long de sa ligne d’action sans changer les
conditions du problème;
Vecteur lié :
vecteur qui ne peut se déplacer dans l’espace sans changer les
conditions du problème.
2-2

CTN-258 : Statique et dynamique
2.4 L’addition de vecteurs
L’addition de vecteurs est commutative
Une méthode alternative pour trouver la résultante est la méthode triangulaire ou la
méthode du parallélogramme.
P
Q
R
P
Q
Figure 2.4
P
Q
P
R
Q
Figure 2.5
La soustraction d’un vecteur est définie par l’addition d’un vecteur négatif correspondant
P
Q
Figure 2.6
L’addition de plus de deux vecteurs se fait par la règle du polygone en plaçant les
vecteurs bout à bout.
P
S
Q
Figure 2.7
2-3

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
L’addition de plus de deux vecteurs est associative
A
C
B
Figure 2.8
Le produit d’un scalaire et d’un vecteur multiplie l’intensité du vecteur par la valeur du
scalaire sans modifier sa direction.
P
1,5 P
-2P
Figure 2.9
2.5 Résultante de plusieurs forces concourantes
Plusieurs forces agissant sur un même plan sont dites coplanaires. Lorsqu’elles passent
toutes par le même point A elles sont concourantes.
L’action d’un groupe de forces concourantes au point A est
équivalente à l’action de leur résultante au point A.
P
Q
P
Q
A
S
A
Figure 2.10
2-4

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2.6 Décomposition des forces
Dans la partie précédente, il a été démontré qu’il est possible de transformer
plusieurs forces en une seule force résultante. Inversement, l’action d’une
force P sur une particule peut être remplacée par un groupe de forces, appelées
les composantes.
1. La composante P de la force F est connue, donc on utilise la règle du triangle
pour calculer la deuxième composante.
P
F
Figure 2.11
2. Les lignes d’action de chaque composante de F sont connues, on utilise le principe du
parallélogramme pour trouver les deux composantes.
F
Figure 2.12
2-5

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
Exemple 2.1
F 2 = 150 N
10
Deux forces sont appliquées sur l’œillet
o F
de la figure ci-contre. Déterminez la
1 = 100 N
grandeur et la direction de la force
15 o
résultante.
Solution
150 N 65 o
115 o
10 o F R
360 − 265°
150 N
= 115°
2
F R
θ 100 N
115 o
15 o
θ 100 N
ϕ
90-25=65 o 15 o
(a)
(b)
Par le principe des parallélogrammes, il est possible de trouver plusieurs
inconnues (figure (a))
Par contre, en utilisant le principe des triangles (Figure (b)), et la loi des cosinus,
l’amplitude de la force résultante (F R ) peut être calculée
= 100 + 150 − 2100 150 cos 115°
= 10 000 + 22 500 − 30 000−0.4226=212.6 N
F R = 213 N
L’angle ϴ est déterminé en appliquant la loi des sinus
.
= sin = 0.9063 θ = 39.8o
°
.
Ce qui permet de trouver la direction de la résultante (ϕ) par rapport à
l’horizontal
ϕ = 39.8 o + 15 o = 54.8 o
2-6

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Exemple 2.2
Deux enfants se disputent pour avoir le
train en bois. Si la résultante des deux
forces exercées par les cordes est une force
de 300 N parallèle à l’axe de la locomotive
(trait pointillé), déterminez a) la tension
dans chaque cordes si θ = 30 o et b) la valeur
de θ lorsque la tension dans la corde 2 est la
plus petite possible.
20 o θ
T 2
Solution
a) Pour trouver la tension dans la corde 2 lorsque l’angle est de 30 o , on peut
utiliser le principe du parallélogramme ou du triangle (non montré ici) ou bien
une solution trigonométrique. Voyons la méthode trigonométrique.
T 1
300 N
20 o 30 o
T 1
T 2
Avec la loi des sinus
sin 30° = 300
=
sin 20° sin 130°
Donc T 1 = 198.5 N et T 2 = 133.9 N
b) Encore avec le triangle, il est possible de voir que pour que la tension T 2
soit minimale, elle doit être placée à angle droit avec T 1
c)
300 N
20 o 300 N
20 o
T 1
α
T 2
T 1
T 2 -a
T 2 -b
T 2 -c
T 2 = (300 N) sin 20 o = 102.6 N et α = 180 – 90 – 20 = 70 o
2-7

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
2.7 Composantes rectangulaires et vecteurs unités.
La décomposition d’une force selon deux composantes perpendiculaires est souvent
avantageuse. Le parallélogramme forme alors un rectangle et les composantes sont
appelées composantes rectangulaires.
y
y’
x’
Figure 2.12 Figure 2.13
x
Dans un système d’axe x-y on définit deux vecteurs unités orientés respectivement selon
la position des axes « x » et « y » par i et j de sorte que :
F x = F x i F y = F y j F z = F z k
Avec cette notation, les vecteurs unitaires indiquent la direction et l’amplitude de la force
peut demeurer positive (Figure 2.14 et 2.15).
y
j
y
F
F’ y F’ x
F y
-j i
F’
x
F x
i
x
Figure 2.14 Figure 2.15
De cette manière, les vecteurs F et F’, peuvent être écrits de la façon suivante :
F = F x i + F y j Éq. 2.1
F’ = F’ x i + F’ y (-j) ou F’ = F’ x i – F’ y j Éq. 2.2
Maintenant, si nous appelons F la grandeur du vecteur F et que q représente l’angle entre
2-8

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l’axe des x et le vecteur F, on peut écrire:
y
F y
F
θ
F x
Figure 2.16
x
F x = F cos θ Éq. 2.3
F y = F sin θ Éq. 2.4
Finalement, lorsqu’une force est définie par ses composantes rectangulaires, la direction
et l’intensité de la force sont données par :
tan
Éq. 2.5
Éq. 2.6
Lors de la décomposition en composantes rectangulaires, les axes doivent être
perpendiculaires, mais pas nécessairement horizontal et vertical comme montré à la
Figure 2.17.
Figure 2.17
2-9

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
Exemple 2.3
Déterminez les composantes rectangulaires
de la force de 180 lb appliquée sur une
marche de l’échelle
180 lb
60 o 40 o y
Solution
x
Il est souvent plus simple de remettre les figures à l’horizontale lorsqu’il y a un angle.
Une fois la figure tournée, il ne reste qu’à utiliser les équations 2.3 et 2.4.
40 o y
x
F x = 180 sin 40 o = 115,7 lb ou F x = 180 cos 50 o = 115,7 lb
F y = -180 cos 40 o = -137,9 lb ou F y = -180 sin 50 o = -137,9 lb
On peut maintenant vérifier la réponse à l’aide du théorème de Pythagore
115.7 137.9 180
2-10

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Dans certaines situations, l’angle entre un vecteur et son axe n’est pas donné, mais la
position de l’origine et de la fin du vecteur sont données (x, y, z). Dans ce cas,
l’utilisation des vecteurs unitaires simplifie la résolution du problème.
Pour obtenir un vecteur unitaire, il suffit de diviser un vecteur pas son amplitude.
Voyons un exemple.
Exemple 2.4
Déterminez les composantes en x et
y du vecteur force de 300 N montré
à la figure ci-contre
Solution
y
(3, 4)
La première étape consiste en trouver la longueur de ce vecteur force. Pour ce
faire, on utilise Pythagore :
3 4 5
On peut ensuite calculer les vecteurs unitaires :
(0, 0)
x
||
3 4
5
0,6 0,8
On peut vérifier si ce vecteur est bel et bien unitaire en utilisant Pythagore :
0,6 0,8 1
Il ne reste qu’à multiplier le vecteur unitaire par l’amplitude du vecteur :
300 ∗ 0,6 0,8 180 240
Donc 180 N en x et 240N en y
Vérification : √180 240 300
2-11

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
2.8 Addition de forces par la somme des composantes X et Y
L’addition de plusieurs forces se fait par la sommation des composantes « x » et « y » de
toutes les forces en jeu.
Par conséquent
R = P + Q + S
R i + R j = P i + P j+ Q i + Q j+ S i + S j
x y x y x y x y
= ( P + Q + S )i + ( P + Q + S ) j
x x x y y y
∑
∑
R = P + Q + S → R = F
x x x x x x
R = P + Q + S → R = F
y y y y y y
R
x
= ∑ F
R = F
x
1
+ F2
= ( F1
xi
+ F1
y
j) + ( F2
xi
+ F2
y
j)
Ry
+ ∑ F
R i R j ( F F ) i ( F F )j
y
x
+
y
=
1x
+
2x
+
1y
+
2 y
Figure 2.18
2-12

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Exercice :
Soit le pylône ci-dessous, sur quelle tension T 3 doit-ont régler le câble AB pour que soit
verticale la force résultante exercée sur le sommet du pylône CB par les trois câbles
coplanaires attachés au commet B?
T 1
T 2
20˚
60˚
B
55˚
T 1 = 300 N
T 2 = 500 N
T 3
Réponse : T 3 = 889,3 N
2-13

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
2.9 L’équilibre d’une particule
Quand la résultante de toutes les forces agissant sur une particule est zéro, la
particule est en équilibre
∑
F
x
∑
R = F = 0
∑
= 0 F = 0
y
Éq. 2.7
2.10 Moment d’une force autour d’un point
DÉFINITION
Le moment d’une force F par rapport à un point O, désigné M O , est égal au produit de
l’intensité de F par la distance d séparant du point O la ligne d’action (ou support) de la
force F
MO
= Fd
Éq. 2.8
d : distance perpendiculaire à la ligne d’action
de F, s’appelle le levier de F par rapport au
point O.
O
F
Si r est le vecteur distance séparant le point
O et un point A quelconque sur le support de
F on peut établir
A
Figure 2.19
d = r sinθ
Éq. 2.9
Où θ désigne l’angle entre r ou son prolongement et la ligne d’action de F. Alors
M = rF sinθ
= Fd
Éq. 2.10
O
2-14

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L’équation (2.10) a la même forme que l’expression scalaire du vecteur résultant d’un
produit vectoriel. On peut donc déduire que M O est la valeur scalaire d’un vecteur M O
engendré par le produit vectoriel du vecteur position OA = r et du vecteur force F. Le
moment de force par rapport à un point O se définit donc par
M = × ×
O
OA F = r F Éq. 2.11
Le vecteur M O est normal au plan défini par r et F et son sens est donné par la règle de la
main droite.
2.10.1 Produit vectoriel de deux vecteurs
Le produit vectoriel de deux vecteurs P et Q est un vecteur V satisfaisant les propriétés
suivantes :
1. On le désigne par
V = P×
Q Éq. 1.12
2. Sa ligne d’action (ou support) est
perpendiculaire au plan contenant
P et Q
V ⊥ ( P,Q)
3. Son sens est donné par la règle de
la main droite
4. Son intensité est donnée par
Figure 2.20
V = PQsinθ
Éq. 2.13
θ : angle entre P et Q ( + P vers Q)
Propriétés du produit vectoriel :
• Non commutatif P × Q ≠ Q×
P
• Distributif P× ( Q
1
+ Q2) = ( P× Q
1) + ( P×
Q
2)
• Non associatif (P × Q) × S ≠ P × ( Q × S )
2-15

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
SIGNIFICATION PHYSIQUE
L’intensité M O du moment M O mesure la tendance de la force F à produire une
accélération rotationnelle autour du point O, plus précisément autour du support de M O ,
normal au plan contenant les supports de vecteurs r et F, si le corps est lié en O. Cette
tendance à la rotation provenant de F est due à l’excentricité du support de F par rapport
au point O. Le moment s’exprime par le produit d’une force (kN) par une longueur (m).
Une force donnée tend à produire une double série d’effets : des translations coaxiales
de son support, puis des rotations autour d’axes différents de son support, non parallèles
à ce support.
ÉQUIVALENCE DE 2 FORCES
O
F
F’
Figure 2.21
Deux forces sont équivalentes si non seulement elles ont la même intensité, la même
direction et le même sens, mais si en plus elles exercent le même moment par rapport à
un point quelconque, c’est-à-dire si elles produisent le même effet mécanique global
composé d’une tendance à la translation et d’une tendance à la rotation.
CONVENTION DE SIGNES
M
Figure 2.22
2-16

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2.11 Théorème de Varignon
Soit un groupe de n forces concourantes en un point A défini par le vecteur position
OC=r par rapport au point O. Le moment exercé par rapport au point O par l’ensemble
des n forces F 1 , F 2 , …… F n est donné par :
y
M
Figure 2.23
O =
O
r
A
x
z
Le moment d’un groupe de forces concourantes en A par rapport à
un point O est égal au moment de la résultante R de ce groupe de
forces par rapport au même point O.
r × ( F + F + L)
= r× F + r × F + L
1 2 1 2
Procédure
1- Définir le vecteur rayon ()
Éq. 2.14
2- Définir le vecteur force ()
Figure 2.24
Éq. 2.15
3- Effectuer le produit vectoriel ( x )
Éq. 2.16
4- Appliquer le théorème de Pythagore pour la grandeur du moment
Éq. 2.17
2-17

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
Exemple 2.5
y (m)
Calculer le moment par rapport au point O
(0;0) des deux forces F 1 etF 2 montrées sur
la figure ci-contre et concourant au point C
(5,5;1) m. Comparer ce moment à celui de
la résultante R de ces deux mêmes forces.
C (5,5;1)
F 2 =300N
F 1 =400N
Solution
x (m)
Ce problème peut se solutionner soit en utilisant les vecteurs séparés soit en utilisant la
résultante.
1- Par vecteur
2 2 − 1 1
300 5,5 −400 1 1250 .
2 – par la résultante
2-18

CTN-258 : Statique et dynamique
Exercice
Calculez la grandeur du moment par rapport au
point O de la force de 600N de cinq manières
différentes.
2m
4m
600
N
40 o
O
2-19

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
2.12 Moment de couple
Un moment de couple est un moment produit par deux forces parallèles de même
intensité et de sens opposé. Ces forces exercent une rotation pure autour d’un axe
normal à leur plan commun. Comme le moment, l’intensité du moment de couple M (ou
couple M) est égal au produit de l’intensité de la force F par la distance d entre les deux
forces.
y
-F
F
O
Figure 2.25
x
r × F + r × ( − F) = ( r − r ) × F
A B A B
M = r × F
Éq. 2.18
Où M est le Moment du couple et son sens est défini par la règle de la main droite.
Son intensité est donnée par :
M = rF sinθ
= Fd
Éq. 2.19
où d : levier ou la distance ⊥ entre les 2 forces
L’intensité du couple est indépendante du point O qui sert de référence pour son calcul.
L'effet statique d'un couple sur un corps rigide est indépendant du
support particulier qu'on lui assigne et ne dépend que de la direction
générale, du sens et de l'intensité du couple. (Observable
expérimentalement)
⇒ un couple est un vecteur libre
2-20

CTN-258 : Statique et dynamique
2.13 Équivalence des couples
Deux couples ayant le même moment M sont dit équivalents.
M
M
d
F
-F
-F
d
Figure 2.26
F
M
d
M
-2F
-F
d/2
2F
Figure 2.27
F
LORSQU'UN COUPLE AGIT SUR UN CORPS RIGIDE, LA
LOCALISATION DES FORCES À L'ORIGINE DU COUPLE N'A
PAS D'IMPORTANCE NI LEUR INTENSITÉ ET LEUR
DIRECTION
⇒ LA SEULE CHOSE QUI IMPORTE C'EST LE MOMENT DE
COUPLE RÉSULTANT (Intensité et direction).
DEUX COUPLES AYANT LE MÊME MOMENT RÉSULTANT
EXERCENT LE MÊME EFFET SUR UN CORPS RIGIDE
2-21

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
2.14 FORCES DANS L’ESPACE
Composantes rectangulaires d’une force dans l’espace
Soit une force F appliquée au point O.
y
y
B
F
A
O
C
x
E
O
F h
C
D
x
z
z
Figure 2.28
Selon le plan OABC contenant F (angle θ y ):
F
F
y
h
=
=
Selon le plan OCDE contenant F h (angle φ ):
F
F
x
z
=
=
Application du théorème de Pythagore selon les plans OABC et OCDE
2 2 2 2
F = ( OA) = ( OB) + ( OC)
=
F = ( OC) = ( OD) + ( OE)
=
2 2 2 2
h
2
En éliminant F
h
on obtient la relation entre l’intensité de F et ses composantes
rectangulaires scalaires :
2-22

CTN-258 : Statique et dynamique
F = F + F + F
Éq. 2.20
2 2 2
x y z
On peut mieux visualiser les composantes rectangulaires de F à l’aide d’une boîte. On
utilise alors les angles θ x , θ y , et θ z .
y
B
F
A
E
O
C
D
x
z
Figure 2.29
Les composantes rectangulaires scalaires sont données par :
F = F cosθ F = F cosθ F = F cosθ
Éq. 2.21
x x y y z z
Les cosinus de θ x , θ y , et θ z sont les cosinus directeurs.
L’utilisation de vecteurs unités i, j et k, permet la notation vectorielle suivante :
F = F i + F j + F k Éq. 2.22
x y z
En substituant dans (2.22) les expressions obtenues pour F x , F y et F z dans (2.21), on
obtient :
et
F = F(cosθ i + cosθ j + cos θ k )
Éq. 2.23
x y z
F
= λ = (cosθ xi + cosθ yj+ cos θ
zk)
Éq. 2.24
F
où λ est le vecteur unité (intensité = 1) selon la ligne d’action de F. Ses composantes
sont les cosinus directeurs de la ligne d’action de F.
2-23

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
λx = λy = λz
=
Puisque la somme de ses composantes élevées au carré est égale à l’intensité d’un vecteur
on peut écrire :
λ = λ + λ + λ = 1
2 2 2 2
x y z
2 2 2
cos θ
x
+ cos θ
y
+ cos θ
y
= 1
Éq. 2.25
y
cosθ y j
F y i
F=Fλ
cosθ z k
F z k
cosθ x i
C
F x j
x
z
Figure 2.30
Définition d’une force par son intensité et deux points sur sa ligne d’action
Considérons une force F dont la ligne d’action est définie par deux points, M(x 1 ; y 1 ; z 1 ) et
N(x 2 ; y 2 ; z 2 ). Le vecteur MN joint les points M et N et est de même sens que F.
y
N(x 2 , y 2 , z 2 )
M (x 1 , y 1 , z 1 )
O
x
Figure 2.31
z
2-24

CTN-258 : Statique et dynamique
Dans un système Oxyz on écrit : MN = d
xi + d
yj + d
zk
Puisque MN et F ont la même ligne d’action ils ont alors le même vecteur unité λ (même
cosinus directeurs) définit par :
MN 1
λ = = ( dxi + d
y
j+ dzk
)
MN d
Le vecteur F se définit alors par son intensité F multipliée par le vecteur unité λ
F
F = Fλ
= ( dxi + d
y
j+ d
zk)
d
Les composantes scalaires de F sont définies par :
et
Fd
Fd
Fd
F F F
d d d
x
y
z
x
=
y
=
z
= Éq. 2.26
d
d
x
y
dz
cosθ x
= cosθ y
= cosθ
z
= Éq. 2.27
d d d
2-25

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
Exercice : Calculez la composante en x, y et z de la force de 600 N appliquée sur le câble
y
z
40m
80m
30m
x
Figure 2.32
Réponse : F x = 254,4 N
F y = -508,8 N
F z = 190,8 N
2-26

CTN-258 : Statique et dynamique
2.15 Addition de forces concourantes dans l’espace
L’addition de plusieurs forces dans l’espace se fait par la sommation des composantes
« x », « y » et « z » de toutes les forces en jeu.
Par conséquent
∑
∑
∑ ∑ ∑
R = F
R i + R j+ R k = ( F i + F j+
F k)
x y z x y z
= ( F )i + ( F ) j + ( F ) k
x y z
∑ ∑ ∑
R = F R = F R = F
Éq. 2.28
x x y y z
z
Avec
R = R + R + R
Éq. 2.29
2 2 2
x y z
R
R
x
y
Rz
cosθ x
= cosθ y
= cosθ
z
= Éq. 2.30
R R R
2.16 Équilibre d’une particule dans l’espace
Quand la résultante de toutes les forces agissant sur une particule
est zéro, la particule est en équilibre
R = ∑ F = 0
∑ ∑ ∑
F = 0 F = 0 F = 0
x y z
2.17 Produit scalaire
Jusqu’à maintenant, nous avons calculé la composante des forces sur des axes
orthogonaux simple. Lorsque l’on veut connaitre la composante d’une force sur un axe
autre que les axes de références x, y et z, on peut utiliser le produit scalaire.
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des grandeurs des deux vecteurs
par le cosinus de l’angle entre les deux (Figure 2.33). Le produit scalaire s’écrit donc
comme suit :
2-27

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
Q
∙ = cos Éq. 2.31
θ
Figure 2.33
P
Il est important de préciser que le produit scalaire de vecteurs donne un scalaire, et non
un vecteur. Donc pour avoir les composantes et non un scalaire, il faut multiplier ce
produit scalaire par le vecteur unitaire sur lequel le premier vecteur est projeté une
deuxième fois; ce qui donne l’équation suivante :
= ∙ Éq. 2.32
De plus, le produit vectoriel est commutatif et distributif comme montré aux équations
2.32 et 2.33.
∙ = ∙ Éq. 2.33
∙ + = ∙ + ∙ Éq. 2.34
Voyons maintenant un exemple d’application du produit scalaire.
2-28

CTN-258 : Statique et dynamique
Exemple 2.6
Le vecteur force F montré à la figure ci-contre a une
intensité de 100 N. Ce vecteur passe par l’origine et
par le point (3, 4, 5). On vous demande de projeter
ce vecteur sur la droite passant par l’origine et le
point (6, 6, 2).
z
3, 4, 5
B
F
y
Solution
Avant de pouvoir effectuer le produit scalaire, il nous
faut deux vecteurs. La première étape consiste donc
de trouver le vecteur unitaire de la droite et les
composantes du vecteur force.
O
6, 6, 2
A
=
|| = + +
||
x
=
6 − 0 + 6 − 0 + 2 − 0
= 0,688 + 0,688 + 0,229
√6 + 6 + 2
Une fois ce vecteur unitaire trouvé, on refait la même chose avec le vecteur force
3 − 0 + 4 − 0 + 5 − 0
= 100 = 42,4 + 56,6 + 70,7
√3 + 4 + 5
Le produit scalaire nous permet de trouver la valeur de la projection du vecteur F sur la
droite OA.
∙ = 42,4 ∗ 0,688 + 56,6 ∗ 0,688 + 70,7 ∗ 0,229 = 84,3
Si on veut trouver cette résultante selon ces composantes, on utilise l’équation 2.32 :
∙ = 84,30,688 + 0,688 + 0,229 = 58,1 + 58,1 + 19,35
On peut également trouver l’angle entre la force et la droite OA par la définition du
produit scalaire, puisque :
∙ = cos ∙ = 100 ∗ 1 ∗ = 84,3 θ = 32,5 o
2-29

Chapitre 2 : Statique des corps rigides
2.18 Diagramme de corps libres
Le DCL représente un corps donné avec TOUTES ses sollicitations
EXTÉRIEURES, c'est à dire TOUTES LES FORCES
EXTÉRIEURES qui s'exercent sur lui, Y COMPRIS celles
qu'apportent les APPUIS disposés en certains points extérieurs du
corps et qui lui fournissent des contacts directs avec le milieu
extérieur stable.
ÉTAPES POUR CONSTRUIRE UN DCL
1. Choisir l'élément à isoler : corps libre (CL)
détacher du sol, et séparer des autres corps
le contour du CL doit être isolé dans le croquis.
2. Indiquer toutes les forces en action :
le sol
les points de contact détachés des autres corps
le poids (force gravitationnelle) appliqué au centre de gravité du CL
3. Indiquer l'intensité, la direction et le sens des forces externes
4. Indiquer les forces inconnues (ex. les réactions)
5. Indiquer les dimensions du corps
La construction du DCL exige la connaissance des modes d'actions du milieu extérieur
sur le corps aux points de contact direct : ⇒ les APPUIS!
Ce contact s'effectue à travers des organes dits « liaisons » de différents types.
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