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7.1. Génération symbolique du modèle dynamique 101<br />
Les éléments utilisés pour la description de l’orientation des segments sont les suivants :<br />
– i R h est la matrice de rotation permettant de passer de la base associée au segment<br />
h à celle du segment i. Pour un vecteur quelconque h u exprimé dans la base associée<br />
au solide h, son expression dans celle du solide i s’écrit i u = i R h h u.<br />
– Afin de ne pas alourdir les notations, la matrice de rotation d’un segment par rapport<br />
à son parent est notée R. Si R ≡ h R i alors son inverse, obtenue par la transposition<br />
(en raison des propriétés d’orthogonalité de la matrice rotation) est notée R T ≡ i R h .<br />
– Le vecteur vitesse angulaire du segment i par rapport au segment h exprimé dans<br />
la base associée au segment i s’écrit i ω i/h . Pour plus de clarté nous avons adopté les<br />
notions suivantes : Ω i ≡ i ω i/h et ω i ≡ i ω i/0 .<br />
Dans le cas d’une chaîne ouverte, sans efforts de contact, l’expression des actions généralisées<br />
en fonction des quantités d’accélération généralisées est Q = M(q)¨q+N(q, ˙q) ˙q+G(q).<br />
La boîte à outils écrite en langage Maple disponible dans le logiciel HuMAnS génère le<br />
modèle dynamique inverse d’un système multicorps à partir du formalisme récurrent de<br />
Newton-Euler. Ce formalisme est bien adapté pour le contrôle temps réel et la simulation<br />
de la dynamique des robots (107). Pour augmenter encore l’efficacité, un modèle symbolique<br />
est généré. Le modèle est ensuite converti en fonctions C à l’aide de la fonction<br />
[Optimized] de Maple qui identifie les expressions redondantes. L’usage de cette fonction<br />
est coûteux, cependant le modèle est écrit une fois pour toutes. Le formalisme récurrent<br />
de Newton-Euler consiste à appliquer le principe fondamental de la dynamique à chaque<br />
solide S i du système, ce qui se traduit vectoriellement par :<br />
m i ẍ i = F i − F j (30)<br />
I i ˙ω i + ˜ω i I i ω i = M i + ˜d ii F i − M j − (d ij − d ii ) × F j (31)<br />
avec F i et M i , la force et le moment exercés par S j sur S i à l’articulation de centre O i<br />
(Figure 7.1). La notation tilde désigne la matrice antisymétrique de pré-produit vectoriel<br />
tel que a ×b = ãb. Les forces de gravité sont ignorées dans les Eq. [30] et Eq. [31]. C’est en<br />
imposant au solide de référence une accélération opposée à celle de la pesanteur que sont<br />
obtenus les effets de gravité. Deux récurrences, ascendante et descendante, sont nécessaires<br />
pour le calcul des entités cinématiques et cinétiques puis le calcul des entités sthéniques.