THÈSE

7.1. Génération symbolique du modèle dynamique 101
Les éléments utilisés pour la description de l’orientation des segments sont les suivants :
– i R h est la matrice de rotation permettant de passer de la base associée au segment
h à celle du segment i. Pour un vecteur quelconque h u exprimé dans la base associée
au solide h, son expression dans celle du solide i s’écrit i u = i R h h u.
– Afin de ne pas alourdir les notations, la matrice de rotation d’un segment par rapport
à son parent est notée R. Si R ≡ h R i alors son inverse, obtenue par la transposition
(en raison des propriétés d’orthogonalité de la matrice rotation) est notée R T ≡ i R h .
– Le vecteur vitesse angulaire du segment i par rapport au segment h exprimé dans
la base associée au segment i s’écrit i ω i/h . Pour plus de clarté nous avons adopté les
notions suivantes : Ω i ≡ i ω i/h et ω i ≡ i ω i/0 .
Dans le cas d’une chaîne ouverte, sans efforts de contact, l’expression des actions généralisées
en fonction des quantités d’accélération généralisées est Q = M(q)¨q+N(q, ˙q) ˙q+G(q).
La boîte à outils écrite en langage Maple disponible dans le logiciel HuMAnS génère le
modèle dynamique inverse d’un système multicorps à partir du formalisme récurrent de
Newton-Euler. Ce formalisme est bien adapté pour le contrôle temps réel et la simulation
de la dynamique des robots (107). Pour augmenter encore l’efficacité, un modèle symbolique
est généré. Le modèle est ensuite converti en fonctions C à l’aide de la fonction
[Optimized] de Maple qui identifie les expressions redondantes. L’usage de cette fonction
est coûteux, cependant le modèle est écrit une fois pour toutes. Le formalisme récurrent
de Newton-Euler consiste à appliquer le principe fondamental de la dynamique à chaque
solide S i du système, ce qui se traduit vectoriellement par :
m i ẍ i = F i − F j (30)
I i ˙ω i + ˜ω i I i ω i = M i + ˜d ii F i − M j − (d ij − d ii ) × F j (31)
avec F i et M i , la force et le moment exercés par S j sur S i à l’articulation de centre O i
(Figure 7.1). La notation tilde désigne la matrice antisymétrique de pré-produit vectoriel
tel que a ×b = ãb. Les forces de gravité sont ignorées dans les Eq. [30] et Eq. [31]. C’est en
imposant au solide de référence une accélération opposée à celle de la pesanteur que sont
obtenus les effets de gravité. Deux récurrences, ascendante et descendante, sont nécessaires
pour le calcul des entités cinématiques et cinétiques puis le calcul des entités sthéniques.