THÈSE

96 Chapitre 6. Problème cinématique inverse du pagayage
soit sous sa forme discrète :
∆q = J + ∆x + α(1 − J + J)∇φ (27)
où ∇φ = ∂φ/∂q est le gradient de la fonction φ et α une constante négative pour
minimiser la fonction. La fonction φ permet d’appliquer des lois de recherche dans l’espace
de solutions fourni par ∆q = J + ∆X. Le second terme de droite appartient à l’espace nul
de J. Il correspond à des mouvements de la chaîne sans déplacement de l’effecteur ; il
s’agit d’une tâche secondaire. Le système étant redondant, une variété de configurations
sont possibles pour réaliser la tâche. Le terme α gére le compromis entre la minimisation
de ‖ ˙q‖, due à la pseudo-inverse, et l’optimisation de φ(q).
De nombreuses fonctions sont utilisées pour résoudre le problème de redondance du
système (e.g. la minimisation de l’énergie, la minimisation de l’écart de posture par rapport
à un mouvement d’origine, l’évitement de collision, ou encore la prise en compte des angles
limites aux articulations (57; 59)). Dans notre cas, la minimisation de la fonction φ donne
des mouvements loin des limites articulaires. Elle peut s’écrire sous la forme quadratique
suivante (57) :
φ(q) = ∑ i
(
qi − ¯q i
∆q i
) 2
(28)
− qi min est l’amplitude de l’articulation i et ¯q i = 1 (
2 q
max
i
où ∆q i = qi
max
moyenne. Après calcul du gradient de φ(q), l’Eq. [27] s’écrit sous la forme :
+ qi
min )
sa valeur
∆q = J + ∆x + (1 − J + J) 2α (q i − ¯q i )
∆q 2 i
(29)
A partir de la décomposition en valeurs singulières de la jacobienne (J = UDV T ), deux
méthodes principales permettent de calculer la pseudo-inverse et l’opérateur de projection
dans l’espace nul de J (Annexe B.1). La première (163) demande une décomposition
complète alors que la seconde (8) nécessite uniquement une décomposition réduite ; pour
une matrice de dimensions m × n avec m > n, seules les n premières colonnes de U sont
calculées et D est de dimensions n×n. La décomposition réduite est significativement plus
rapide et économique, par contre le calcul est itératif. Cette seconde solution est préférée
dans notre algorithme.
La Figure 6.4 illustre les trajectoires articulaires moyennes obtenues pour 26 tâches
de pagayage. Ces trajectoires sont cycliques car les positions finales sont équivalentes aux
positions initiales. Dans l’ensemble le geste semble alterné. En d’autres termes, les trajectoires
des segments gauches sont semblables à celles des segments droits avec un demi-cycle