THÈSE

6.2. La cinématique inverse 95
La valeur optimale de λ peut se calculer par (7) :
⎧
⎪⎨ d/2 si σ min ≤ d/2
√
λ = σmin (d − σ min ) si d/2 < σ min ≤ d
⎪⎩
0 si σ min > d
avec d = ‖∆X‖ /b max . Lorsque λ vaut zéro, on retrouve l’expression de la pseudo-inverse
J + contenant un terme 1/σ qui tend vers l’infini lorsque la valeur singulière devient faible.
Les flexions et inclinaisons latérales du tronc sont pénalisées en introduisant une matrice
de pondération. Au lieu de minimiser la norme ‖ ˙q‖ 2 , la pseudo-inverse pondérée
minimise le critère C = ˙q T W ˙q. La pseudo-inverse amortie et pondérée prend la forme :
J +λW = (J T W −1 J + λ 2 1) −1 J T W −1 (25)
Si la matrice de pondération W est égale à la matrice d’inertie du système multicorps,
alors l’énergie cinétique est minimisée. Konstantinov et al. (93) ont utilisé la pseudo-inverse
pondérée pour éviter les butées articulaires. Cette méthode améliore la vitesse de calcul et,
par un choix judicieux de la matrice de pondération, limite les flexions et inclinaisons du
tronc tout en permettant la fermeture de la boucle. De plus, les vitesses et accélérations
généralisées sont calculées sans erreur.
Un problème persiste cependant quant à la répétition des cycles. A chaque instant, les
coordonnées généralisées sont obtenues par une approche itérative avec comme solution
initiale les coordonnées de l’instant précédent. La dernière posture du cycle ne correspond
pas à la première posture calculée et les angles obtenus ne respectent pas les amplitudes
physiologiques. Afin d’assurer une stabilité dans la gestuelle au cours des cycles et de
respecter les amplitudes articulaires, la matrice de pondération est délaissée au profit d’un
terme d’optimisation pour s’éloigner des butées articulaires.
6.2.5 La pseudo-inverse et le terme d’optimisation
Un des avantages de la solution par pseudo-inverse est la possibilité d’utiliser l’espace
nul pour optimiser une autre fonction par projection de son gradient. Liegeois (103)
propose une forme plus générale d’optimisation avec la pseudo-inverse par minimisation
d’une fonction objectif explicite (φ) dans l’espace nul de J. La solution du système linéaire
s’écrit :
˙q = J + ẋ + α(1 − J + J) ˙φ (26)