THÈSE

94 Chapitre 6. Problème cinématique inverse du pagayage
au calcul de la pseudo-inverse. Nous allons introduire successivement le calcul de la jacobienne
par la décomposition en valeurs singulières (SVD), de la pseudo-inverse puis de la
pseudo-inverse amortie pour finalement ajouter une matrice de pondération.
La SVD de la jacobienne, de rang r, prend la forme :
J = UDV T (19)
r∑
J = σ i u i vi T (20)
i=1
où D est une matrice diagonale avec des éléments diagonaux (non négatifs) appelés valeurs
singulières (σ i ). {u i } et {v i } sont respectivement des bases (vecteurs colonne) de l’espace
image de J et de l’espace complémentaire du noyau de J. La pseudo-inverse s’écrit quant
à elle :
J + =
r∑
i=1
1
σ i
v i u T i (21)
Maciejewski et Klein (108) proposent plusieurs méthodes pour modifier le calcul de
la pseudo-inverse afin de mieux contrôler le système au voisinage des singularités. L’une
d’entre elles est l’introduction d’un facteur d’amortissement λ dans la résolution par SVD
pour améliorer la convergence de l’algorithme. La pseudo-inverse donnée par la technique
des moindres carrés amortis s’écrit :
J +λ = (J T J + λ1) −1 J T (22)
r∑
J +λ σ i
=
σi 2 + λ2v iu T i (23)
i=1
avec 1 la matrice identité. La difficulté avec la technique des moindres carrés amortis est
l’évaluation de la valeur optimale du facteur d’amortissement λ dans toutes les situations.
Il doit être nul loin des singularités pour s’approcher rapidement de la solution et suffisamment
grand pour atténuer les oscillations proches des singularités. Une méthode commune
est de fixer une limite b max sur la norme de la solution (171; 116; 108) : ∥ ∥J +λ ∆x ∥ ∥ ≤ b max .
En introduisant l’analyse par SVD (Eq. [22]), la norme s’écrit :
∥
∥J +λ ∆x∥ =
( r∑ ∥
i=1
σ i
σ 2 i + λ2v iu T i
)
√ √√√ r∑
∆x
∥ =
i=1
(
σi
σ 2 i + λ2 (
u
T
i
∆x )) 2
≤ b max (24)