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92 Chapitre 6. Problème cinématique inverse du pagayage<br />
la possibilité d’avoir des tâches impossibles à atteindre. De plus, à l’approche des singularités<br />
(lorsqu’une tâche est inatteignable ou qu’il y a une perte d’un degré de liberté à<br />
cause des angles de Cardan), les méthodes basées sur le calcul de la pseudo-inverse de la<br />
jacobienne sont très instables. Une autre limite, mise en évidence par Klein et Huang (90)<br />
pour une trajectoire cartésienne fermée (mouvement cyclique), est que les trajectoires<br />
cartésiennes ne sont pas toujours répétitives, notamment au voisinage des singularités.<br />
Plusieurs techniques vont être présentées au cours des paragraphes suivants. Elles règlent<br />
un à un les problèmes numériques rencontrés.<br />
6.2.3 Résolution par la transposée de la jacobienne<br />
Dans la méthode par la transposée de la jacobienne l’idée est simplement d’utiliser la<br />
transposée de J plutôt que son inverse : ∆q = αJ T ∆x, pour un scalaire α approprié. Pour<br />
des valeurs positives et suffisamment petites de α, les effecteurs se déplacent de plus en<br />
plus près de la tâche désirée. Le scalaire α est défini par (21) :<br />
〈<br />
∆x, JJ T ∆x 〉<br />
α =<br />
〈JJ T ∆x, JJ T ∆x〉<br />
où 〈, 〉 est le produit scalaire. Avec cette méthode, une itération est réalisée très rapidement<br />
car il n’y a pas de calcul d’inverse. Cependant, le nombre d’itérations est important pour<br />
atteindre la tâche, notamment à l’approche de la solution.<br />
De nombreuses difficultés s’accumulent pour résoudre le problème cinématique inverse<br />
des membres supérieurs :<br />
– Le modèle A, par exemple, ne tient pas compte des mobilités sternoclaviculaires et<br />
du rachis en flexion et inclinaison latérale.<br />
– Les fonctions d’approximation définies possèdent peu de coefficients.<br />
– Lors du mouvement de pagayage, les articulations du coude sont parfois en extension,<br />
la pagaie se trouvant éloignée du corps du kayakiste.<br />
Ainsi la position et l’orientation de la pagaie données par les fonctions d’approximation<br />
ne sont parfois pas atteignables. Une première approche est de modifier la tâche. Si la<br />
fermeture de boucle n’est pas possible après convergence des coordonnées généralisées, la<br />
position et l’orientation de la pagaie sont modifiées en conservant la position désirée de la<br />
pale immergée. La technique est illustrée par la Figure 6.3.<br />
Cette approche permet de conserver la trajectoire aquatique des pales qui conditionne<br />
les forces propulsives. Cependant le calcul des vitesses et accélérations généralisées pose<br />
des difficultés car la vitesse et l’accélération instantanées (Eq. [15] et Eq. [16]) ne sont plus