THÈSE

92 Chapitre 6. Problème cinématique inverse du pagayage
la possibilité d’avoir des tâches impossibles à atteindre. De plus, à l’approche des singularités
(lorsqu’une tâche est inatteignable ou qu’il y a une perte d’un degré de liberté à
cause des angles de Cardan), les méthodes basées sur le calcul de la pseudo-inverse de la
jacobienne sont très instables. Une autre limite, mise en évidence par Klein et Huang (90)
pour une trajectoire cartésienne fermée (mouvement cyclique), est que les trajectoires
cartésiennes ne sont pas toujours répétitives, notamment au voisinage des singularités.
Plusieurs techniques vont être présentées au cours des paragraphes suivants. Elles règlent
un à un les problèmes numériques rencontrés.
6.2.3 Résolution par la transposée de la jacobienne
Dans la méthode par la transposée de la jacobienne l’idée est simplement d’utiliser la
transposée de J plutôt que son inverse : ∆q = αJ T ∆x, pour un scalaire α approprié. Pour
des valeurs positives et suffisamment petites de α, les effecteurs se déplacent de plus en
plus près de la tâche désirée. Le scalaire α est défini par (21) :
〈
∆x, JJ T ∆x 〉
α =
〈JJ T ∆x, JJ T ∆x〉
où 〈, 〉 est le produit scalaire. Avec cette méthode, une itération est réalisée très rapidement
car il n’y a pas de calcul d’inverse. Cependant, le nombre d’itérations est important pour
atteindre la tâche, notamment à l’approche de la solution.
De nombreuses difficultés s’accumulent pour résoudre le problème cinématique inverse
des membres supérieurs :
– Le modèle A, par exemple, ne tient pas compte des mobilités sternoclaviculaires et
du rachis en flexion et inclinaison latérale.
– Les fonctions d’approximation définies possèdent peu de coefficients.
– Lors du mouvement de pagayage, les articulations du coude sont parfois en extension,
la pagaie se trouvant éloignée du corps du kayakiste.
Ainsi la position et l’orientation de la pagaie données par les fonctions d’approximation
ne sont parfois pas atteignables. Une première approche est de modifier la tâche. Si la
fermeture de boucle n’est pas possible après convergence des coordonnées généralisées, la
position et l’orientation de la pagaie sont modifiées en conservant la position désirée de la
pale immergée. La technique est illustrée par la Figure 6.3.
Cette approche permet de conserver la trajectoire aquatique des pales qui conditionne
les forces propulsives. Cependant le calcul des vitesses et accélérations généralisées pose
des difficultés car la vitesse et l’accélération instantanées (Eq. [15] et Eq. [16]) ne sont plus