THÈSE

6.2. La cinématique inverse 91
cinématique inverse est résolue en inversant cette relation :
∆q = J −1 ∆x (18)
Le système linéaire est résolu pour obtenir une nouvelle configuration plus proche de
la tâche. Avec la répétition de résolutions, le système converge habituellement vers une
solution satisfaisante. Cette méthode est inspirée de la méthode itérative de Newton-
Raphson de résolution de systèmes non linéaires. Elle est appliquée aux membres inférieurs
où le nombre de degrés de liberté est similaire au nombre de tâches. Elle ne peut cependant
pas être utilisée pour les membres supérieurs pour lesquels la jacobienne associée n’est pas
carrée.
6.2.2 Multiplicité des solutions et pseudo-inverse
La résolution numérique des modèles géométriques inverses se heurte au problème
de solutions multiples. Son unicité n’est presque jamais garantie car la fonction n’est pas
bijective. La plupart des systèmes multicorps peuvent en effet atteindre une posture donnée
de l’espace avec plusieurs configurations différentes. Ce cas de figure arrive obligatoirement
lorsque le nombre de degrés de liberté est supérieur au nombre de contraintes. Le corps
humain, par exemple, possède généralement beaucoup plus de degrés de liberté que de
tâches à réaliser ; le système est dit sous-contraint. C’est alors la pseudo-inverse de Moore-
Penrose (J + ) qui est classiquement utilisée. Elle est définie par :
{
(J
∆q = J + ∆x avec J + T J) −1 J T si le système est sous-contraint (m > n)
=
J T (JJ T ) −1 si le système est sur-contraint (m < n)
où m et n représentent respectivement le nombre de lignes et de colonnes de la jacobienne.
C’est l’unique matrice qui satisfasse les quatre propriétés suivantes :
JJ + J = J
J + JJ + = J +
(JJ + ) T = JJ +
(J + J) T = J + J
La pseudo-inverse donne la solution de norme minimale quand le système est redondant.
Elle minimise les vitesses articulaires sans pour autant permettre d’éviter les configurations
singulières, ce qui constitue l’objectif initial. Il semble difficile d’éliminer totalement