THÈSE

90 Chapitre 6. Problème cinématique inverse du pagayage
6.2 La cinématique inverse
Pour contrôler le mouvement d’un système multicorps rigide, il est commun d’utiliser
une procédure de cinématique inverse. Il existe de nombreuses méthodes de résolution qui
proviennent d’applications robotiques. Nos besoins pour la simulation du mouvement en
kayak sont la simplicité de mise en œuvre et une robustesse algorithmique même lorsque
les cibles ne sont pas atteignables. La rapidité de calcul est pour l’instant secondaire.
Pour ce faire, il faut trouver une configuration définie par les coordonnées généralisées qui
remplisse un ensemble de tâches.
6.2.1 La matrice jacobienne
Afin de résoudre le problème cinématique inverse, il faut inverser la fonction f (Eq. [13])
qui est complexe et clairement non linéaire. S’il existe des solutions analytiques à certaines
structures articulées simples, des méthodes numériques et itératives sont le plus
souvent appliquées. Une solution consiste à linéariser localement le problème autour de la
configuration actuelle en utilisant le modèle cinématique. Ce modèle est littéralement un
modèle des vitesses ; il exprime les relations entre les vitesses articulaires ( ˙q) et les vitesses
cartésiennes d’un point de la chaîne cinématique (ẋ). Ce modèle d’accroissements infinitésimaux
est une différentiation du modèle géométrique. La matrice jacobienne associée à
f est l’opérateur linéaire liant les ˙q avec les ẋ :
ẋ = J ˙q (17)
Elle rassemble les dérivées partielles des paramètres x de l’effecteur (les tâches) par rapport
aux degrés de liberté q : J i,j = ∂x i /∂q j ; i = 1, 2, . . .,m ; j = 1, 2, . . .,n où m et n
correspondent respectivement au nombre de tâches (dimension de l’espace opérationnel)
et au nombre de degrés de liberté du système (dimension de l’espace de configuration).
La matrice jacobienne a des applications multiples en robotique. Par exemple, son
inverse est utile pour obtenir une solution du modèle géométrique inverse, sa transposée
est utilisée dans les modèles statiques pour calculer les efforts articulaires nécessaires pour
exercer des efforts externes donnés. Elle permet également la détermination de singularités
et l’estimation de l’espace de tâche accessible.
Ces méthodes utilisent la valeur courante des coordonnées généralisées, la tâche désirée
et la position actuelle des effecteurs pour calculer un vecteur d’ajustement ∆q. Les
variations angulaires sont reliées à celles de l’effecteur par la relation ∆x = J∆q. La