Cerceau roulant sans glisser sur un plan
Cerceau roulant sans glisser sur un plan
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<strong>Cerceau</strong> <strong>roulant</strong> <strong>sans</strong> <strong>glisser</strong> <strong>sur</strong> <strong>un</strong> <strong>plan</strong><br />
• <strong>Cerceau</strong> vertical de rayon R se déplaçant<br />
<strong>sans</strong> <strong>glisser</strong> <strong>sur</strong> <strong>un</strong> <strong>plan</strong> horizontal<br />
• 4 coordonnées généralisées: x, y, et <br />
• Ces coordonnées ne sont pas indépendantes,<br />
il existe des relations entre leurs variations:<br />
v= x ˙<br />
2 + y ˙<br />
2 =R˙ <br />
˙ x = v cos =R˙ cos<br />
<br />
y ˙ = v sin =R˙ sin<br />
<br />
dx = R cos d<br />
<br />
dy = R sin d<br />
• Ces relations ne sont pas intégrables<br />
on ne peut pas exprimer <strong>un</strong>e des coordonnées comme <strong>un</strong>e fonction des autres<br />
on ne peut donc pas éliminer <strong>un</strong>e des coordonnées<br />
ce système n’est pas holonome !<br />
• Il y a au minimum 4 coordonnées, mais seulement 2 degrés de liberté:<br />
– pivotement: variation de pour x, y, et constants<br />
– roulement: variation de x, y, ou (entraînant nécessairement <strong>un</strong>e variation des deux<br />
autres coordonnées) pour constant<br />
OS, 27 avril 2006 277<br />
O<br />
y<br />
x<br />
y<br />
démo: roue de vélo<br />
<br />
R<br />
<br />
x
Au tableau<br />
• Vitesses:<br />
Dérivation des équations de Lagrange<br />
r<br />
v = dr r <br />
dt =<br />
• Energie cinétique<br />
totale du système:<br />
d<br />
dt<br />
<br />
r <br />
q i=1 i<br />
• Si tous les q i indépendants<br />
(système holonome)<br />
n<br />
<br />
T=<br />
N<br />
<br />
=1<br />
<br />
q ˙ i +<br />
r <br />
t<br />
1<br />
2 m r 2<br />
v<br />
<br />
r<br />
<br />
˙<br />
OS, 27 avril 2006 278<br />
v <br />
q i<br />
T<br />
˙<br />
q i<br />
= r r <br />
qi T r<br />
= ma <br />
˙ <br />
r r + r<br />
v r<br />
N<br />
<br />
v r<br />
<br />
= ma <br />
<br />
<br />
r<br />
N<br />
r + T<br />
q i<br />
=1<br />
q i<br />
q i<br />
=1<br />
N<br />
r<br />
= mv r v r<br />
= mv <br />
˙ q i<br />
r r qi d T<br />
<br />
dt ˙ q i<br />
T<br />
n<br />
<br />
r<br />
qi = ma <br />
qi <br />
i=1<br />
r<br />
n N<br />
r <br />
<br />
r<br />
<br />
q<br />
qi = ma <br />
i=1 =1<br />
i<br />
r<br />
N<br />
r <br />
=1<br />
d T<br />
<br />
dt ˙ q i<br />
T<br />
n<br />
<br />
r<br />
Qi qi = ma <br />
qi <br />
i=1<br />
r<br />
N<br />
n<br />
r<br />
r Qiq i = ma <br />
=1<br />
i=1<br />
r<br />
N<br />
r <br />
=1<br />
r<br />
= ma r<br />
( F )<br />
r<br />
N<br />
r = 0 (d'Alembert)<br />
=1<br />
=1<br />
q i<br />
q i<br />
d T<br />
<br />
dt ˙ q i<br />
T<br />
Qi = 0 , i<br />
qi Equations de Lagrange<br />
Note <strong>sur</strong> les déplacements<br />
réels d r et virtuels r :<br />
dr r = r r /t =0<br />
N<br />
=1<br />
N<br />
<br />
=1<br />
r<br />
F r
Equations de Lagrange (1788)<br />
• Pour <strong>un</strong> système holonome à n degrés de liberté:<br />
d<br />
dt<br />
où<br />
T<br />
˙<br />
q i<br />
T<br />
q i<br />
Q i = 0 , pour i =1, ..., n<br />
<br />
T = énergie cinétique totale du système<br />
qi = coordonée généralisée<br />
Qi = force généralisée associée à la coordonée qi • Si les forces dérivent d’<strong>un</strong> potentiel V tel que:<br />
Q i = d<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
L<br />
˙<br />
q i<br />
V<br />
˙<br />
q i<br />
V<br />
q i<br />
L<br />
q i<br />
équations de Lagrange de 1ère espèce<br />
= 0 , pour i =1, ..., n<br />
où L = L(qi, q ˙ i,t) = T V = lagrangien du système<br />
= fonction des coordonnées qi et des vitesses q ˙ i généralisées<br />
Joseph Louis Lagrange<br />
1736–1813<br />
par exemple Q <br />
i = <br />
V<br />
dans le cas conservatif<br />
<br />
qi avec énergie potentielle indépendante des vitesses<br />
équations de Lagrange<br />
de 2ème espèce<br />
OS, 27 avril 2006 279
Ressort entre deux pendules<br />
• Deux pendules identiques de longueur r<br />
reliés par <strong>un</strong> ressort horizontal de constante k:<br />
– longueur du ressort au repos = distance entre les<br />
points d’attache des deux pendules<br />
– seulement petites oscillations: 1 , 2
Ressort entre deux pendules (2)<br />
˙ x ˙ 1 <br />
˙ x ˙ 2<br />
– on doit donc résoudre<br />
x1 = <br />
<br />
<br />
1 4 4 2 4 4 3<br />
x2 matrice M<br />
<br />
avec =<br />
<br />
k g<br />
et =<br />
m r<br />
x1 <br />
x2 <br />
=<br />
<br />
a 1 <br />
a2 <br />
exp( it)<br />
1 4 4 2<br />
<br />
4 4 4 3<br />
ansatz<br />
2 <br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a 1 <br />
a2 <br />
=<br />
<br />
0 <br />
<br />
0<br />
<br />
det<br />
<br />
2 <br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
=0<br />
<br />
<br />
2 a1 <br />
a2 <br />
=M<br />
<br />
a 1 <br />
a2 <br />
<br />
<br />
le vecteur a 1 <br />
a2 <br />
est vecteur propre de<br />
<br />
la matrice M pour la valeur propre 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
• Sous forme matricielle:<br />
• On cherche des solutions où les deux pendules<br />
oscillent avec la même pulsation :<br />
( ) 2<br />
2 <br />
( ) 2 ( )<br />
=0<br />
2 =0 2 +<br />
– solutions du problème aux valeurs propres:<br />
2<br />
1 = 1 = ± g<br />
r a 1 <br />
a2 <br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 = +2 2 = ± g<br />
+<br />
2k<br />
r m a 1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
OS, 27 avril 2006 281<br />
a 2<br />
Note: les 2 vecteurs<br />
propres sont<br />
orthogonaux<br />
(dû à la symétrie<br />
de la matrice M)
démo: pendules couplés, autres systèmes avec deux modes propres<br />
Ressort entre deux pendules (3)<br />
• Le système a deux modes propres d’oscillations:<br />
– les deux masses oscillent en phase avec <strong>un</strong>e pulsation 1<br />
– les deux masses oscillent en opposition de phase avec pulsation 2<br />
• Solution générale = superposition des deux modes:<br />
x1 <br />
x2 ou bien<br />
<br />
=A 1<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
exp +i<br />
1<br />
(<br />
<br />
1t)+B<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
exp i<br />
1<br />
(<br />
<br />
1t)+A<br />
2<br />
1<br />
<br />
exp +i<br />
<br />
2t<br />
x1 <br />
<br />
<br />
=C 1<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
cos <br />
1<br />
(<br />
1t+D1)+C 2<br />
1<br />
<br />
cos( <br />
2t+D2) x 2<br />
( )+B 2<br />
• Constantes déterminées par les conditions initiales:<br />
•<br />
– le système oscillera en mode propre<br />
si et seulement si les conditions initiales<br />
correspondent à des vecteurs propres:<br />
Note:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
exp i<br />
<br />
2t<br />
– <strong>un</strong> choix plus judicieux pour les deux coordonnées généralisées aurait pu<br />
donner lieu à des équations différentielles découplées, donc plus simples !<br />
<br />
˙ ( ) = coord. du centre de masse<br />
( )<br />
x1 (0) = x2 (0) et x ˙ 1 (0) = x ˙ 2 (0)<br />
ou bien<br />
x1(0) = x2(0) et x ˙ 1(0) = ˙ x 2(0)<br />
X=<br />
OS, 27 avril 2006 282<br />
1<br />
2 x1 +x 2<br />
2<br />
X +1 X=0<br />
<br />
2<br />
x=x1 x2 = coordonée relative<br />
<br />
˙ x ˙ + 2x=0