Cerceau roulant sans glisser sur un plan

Cerceau roulant sans glisser sur un plan
• Cerceau vertical de rayon R se déplaçant
sans glisser sur un plan horizontal
• 4 coordonnées généralisées: x, y, et
• Ces coordonnées ne sont pas indépendantes,
il existe des relations entre leurs variations:
v= x ˙
2 + y ˙
2 =R˙
˙ x = v cos =R˙ cos
y ˙ = v sin =R˙ sin
dx = R cos d
dy = R sin d
• Ces relations ne sont pas intégrables
on ne peut pas exprimer une des coordonnées comme une fonction des autres
on ne peut donc pas éliminer une des coordonnées
ce système n’est pas holonome !
• Il y a au minimum 4 coordonnées, mais seulement 2 degrés de liberté:
– pivotement: variation de pour x, y, et constants
– roulement: variation de x, y, ou (entraînant nécessairement une variation des deux
autres coordonnées) pour constant
OS, 27 avril 2006 277
O
y
x
y
démo: roue de vélo
R
x

Au tableau
• Vitesses:
Dérivation des équations de Lagrange
r
v = dr r
dt =
• Energie cinétique
totale du système:
d
dt
r
q i=1 i
• Si tous les q i indépendants
(système holonome)
n
T=
N
=1
q ˙ i +
r
t
1
2 m r 2
v
r
˙
OS, 27 avril 2006 278
v
q i
T
˙
q i
= r r
qi T r
= ma
˙
r r + r
v r
N
v r
= ma
r
N
r + T
q i
=1
q i
q i
=1
N
r
= mv r v r
= mv
˙ q i
r r qi d T
dt ˙ q i
T
n
r
qi = ma
qi
i=1
r
n N
r
r
q
qi = ma
i=1 =1
i
r
N
r
=1
d T
dt ˙ q i
T
n
r
Qi qi = ma
qi
i=1
r
N
n
r
r Qiq i = ma
=1
i=1
r
N
r
=1
r
= ma r
( F )
r
N
r = 0 (d'Alembert)
=1
=1
q i
q i
d T
dt ˙ q i
T
Qi = 0 , i
qi Equations de Lagrange
Note sur les déplacements
réels d r et virtuels r :
dr r = r r /t =0
N
=1
N
=1
r
F r

Equations de Lagrange (1788)
• Pour un système holonome à n degrés de liberté:
d
dt
où
T
˙
q i
T
q i
Q i = 0 , pour i =1, ..., n
T = énergie cinétique totale du système
qi = coordonée généralisée
Qi = force généralisée associée à la coordonée qi • Si les forces dérivent d’un potentiel V tel que:
Q i = d
dt
d
dt
L
˙
q i
V
˙
q i
V
q i
L
q i
équations de Lagrange de 1ère espèce
= 0 , pour i =1, ..., n
où L = L(qi, q ˙ i,t) = T V = lagrangien du système
= fonction des coordonnées qi et des vitesses q ˙ i généralisées
Joseph Louis Lagrange
1736–1813
par exemple Q
i =
V
dans le cas conservatif
qi avec énergie potentielle indépendante des vitesses
équations de Lagrange
de 2ème espèce
OS, 27 avril 2006 279

Ressort entre deux pendules
• Deux pendules identiques de longueur r
reliés par un ressort horizontal de constante k:
– longueur du ressort au repos = distance entre les
points d’attache des deux pendules
– seulement petites oscillations: 1 , 2

Ressort entre deux pendules (2)
˙ x ˙ 1
˙ x ˙ 2
– on doit donc résoudre
x1 =
1 4 4 2 4 4 3
x2 matrice M
avec =
k g
et =
m r
x1
x2
=
a 1
a2
exp( it)
1 4 4 2
4 4 4 3
ansatz
2
2
a 1
a2
=
0
0
det
2
2
=0
2 a1
a2
=M
a 1
a2
le vecteur a 1
a2
est vecteur propre de
la matrice M pour la valeur propre 2
• Sous forme matricielle:
• On cherche des solutions où les deux pendules
oscillent avec la même pulsation :
( ) 2
2
( ) 2 ( )
=0
2 =0 2 +
– solutions du problème aux valeurs propres:
2
1 = 1 = ± g
r a 1
a2
1
1
2
2 = +2 2 = ± g
+
2k
r m a 1
1
1
OS, 27 avril 2006 281
a 2
Note: les 2 vecteurs
propres sont
orthogonaux
(dû à la symétrie
de la matrice M)

démo: pendules couplés, autres systèmes avec deux modes propres
Ressort entre deux pendules (3)
• Le système a deux modes propres d’oscillations:
– les deux masses oscillent en phase avec une pulsation 1
– les deux masses oscillent en opposition de phase avec pulsation 2
• Solution générale = superposition des deux modes:
x1
x2 ou bien
=A 1
1
1
exp +i
1
(
1t)+B
1
1
exp i
1
(
1t)+A
2
1
exp +i
2t
x1
=C 1
1
1
cos
1
(
1t+D1)+C 2
1
cos(
2t+D2) x 2
( )+B 2
• Constantes déterminées par les conditions initiales:
•
– le système oscillera en mode propre
si et seulement si les conditions initiales
correspondent à des vecteurs propres:
Note:
1
1
exp i
2t
– un choix plus judicieux pour les deux coordonnées généralisées aurait pu
donner lieu à des équations différentielles découplées, donc plus simples !
˙ ( ) = coord. du centre de masse
( )
x1 (0) = x2 (0) et x ˙ 1 (0) = x ˙ 2 (0)
ou bien
x1(0) = x2(0) et x ˙ 1(0) = ˙ x 2(0)
X=
OS, 27 avril 2006 282
1
2 x1 +x 2
2
X +1 X=0
2
x=x1 x2 = coordonée relative
˙ x ˙ + 2x=0