L'ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI - LUTh

où Ω est le vecteur rotation du solide, cf e.g. supra, équation (32.8). Choisissons pour origine O ′ de S ′ le
centre de masse du solide, défini par m R ′ = 0 . (33.3)
On déduit alors de (33.1-2), en posant M = m et F = f :
M ¨ d = F (33.4)
équation qui régit le mouvement du centre de masse du solide. On tire aussi de (33.2), en prenant toujours
pour O ′ le centre de masse du solide : mR ′ ∧ a = m{R ′ ∧ ( ˙ Ω ∧ R ′ ) − R ′ ∧ [Ω ∧ (R ′ ∧ Ω)]}. Le membre de
droite de cette relation n’est autre que la dérivée temporelle du moment cinétique J du solide défini comme
J = mR ′ ∧ v avec m R ′ = 0 . (33.5)
Ainsi donc l’équation du mouvement qui régit le mouvement de rotation du solide autour de son centre de
masse est :
J ˙ = K (33.6)
où K ≡ mR ′ ∧ a = R ′ ∧ f de part la loi fondamentale (33.1) est le moment des forces appliquées au
solide. On note que (33.6), tout comme (33.4), est invariante dans les transformations de Galilée.
Reste à relier J et Ω. On a, en utilisant (33.2-3) (et la Note 10)
soit, en composantes :
J ≡ mR ′ ∧ v = mR ′ ∧ ( ˙
d + Ω ∧ R ′ ) = m[R ′2 Ω − R ′ (R ′ .Ω)] (33.7)
Jα = IαβΩ β
avec Iαβ ≡ m(δαβ X ′γ X ′ γ − X ′ αX ′ β) (33.8)
Les axes X ′α peuvent être choisis de sorte que le tenseur d’inertie Iαβ soit diagonal. Les trois éléments de la
diagonale, I1, I2 et I3, sont les moments principaux d’inertie. S’ils sont tous égaux le solide est une ”toupie
sphérique” ; si I1 = I2, I3 = 0 le solide est un ”rotateur” : si I1 = I2 = I3 c’est une ”toupie symétrique”.
Considérons le cas où K=0. On voit sur les équations (33.4) (33.6) et (33.8) que l’axe de rotation Ω
d’une toupie ou d’un rotateur, parallèlle au moment cinétique J, garde alors une direction fixe dans S quel
que soit le mouvement de son centre de masse : ce sont des gyroscopes. En revanche l’axe de rotation d’une
toupie symétrique précesse autour de J.
34. “Spin” en relativité restreinte
Considérons dans un repère inertiel S un ensemble de particules de masses m situées en X i dont les
mouvements sont décrits par un champ de vecteurs quadri-vitesses U i (tel que UiU i = −1 ; nous posons
c = 1). Associons-leur la grandeur M ij = m(X i U j − X j U i ), que l’on peut considérer comme une version
relativiste du moment cinétique newtonien J défini en (33.5), à la réserve près que X i est ici la position des
points par rapport à l’origine du repère S et non dans un repère où leurs distances seraient constantes (dans
un sens qu’il faudrait de toute façon préciser). Il en résulte que M ij ne se transforme pas comme un tenseur
de type 2
i i
0 dans une transformation du groupe de Poincaré ; si X = Λ kX ′k − di on a : U j = Λ j
lU ′l et donc
M ij = Λ i k Λj
l M ′kl − (d i P j − d j P i ) où P i ≡ mU i est l’impulsion totale du système. Il est une grandeur en
revanche qui, elle, est un quadri-vecteur covariant dans les transformations de Lorentz, à savoir le moment
cinétique intrinsèque du système, défini comme
Si = − 1
2 ɛijklM jk U l
(34.1)
où ɛijkl est l’indice de Levi-Civita et où U i i
P ≡ M , avec M ≡ m et UiU i = −1, est le champ de vecteurs
quadri-vitesses du système considéré comme un tout. Le vecteur Si n’a que trois composantes indépendantes
car SiU i = 0.
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