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et l’on vérifie que ˜ Diℓjk = 0. Par ailleurs, dans un second changement de coordonnées : xj → x ′k (xj ), les<br />
fonctions ˜ Γi jk → ˜ Γ ′i<br />
jk se transforment selon<br />
˜Γ ′i<br />
jk = ∂x′i<br />
∂xa ∂xb ∂x ′j<br />
∂xc ∂x ′k ˜ Γ a bc + ∂2xa ∂x ′j∂x ′k<br />
(Voir, e.g., livre ND-JPU pour une introduction à la dérivation covariante.)<br />
∂x ′i<br />
. (25.4)<br />
∂xa L’équation du mouvement d’un point matériel sans structure interne dont la ligne d’univers est donnée<br />
par X i = X i (τ) dans le repère inertiel S est : mγ = F . Dans un système de coordonnées quelconque C elle<br />
s’obtient exactement comme en géométrie euclidienne et s’écrit en termes de la dérivation covariante ˜ D selon<br />
m ˜ Du u = F ⇐⇒ m ˜ Du i<br />
dτ<br />
∂xi j<br />
= F<br />
∂X j<br />
(25.5)<br />
où F i sont les composantes de la force dans S.<br />
Ainsi l’équation de Lorentz (12.3) du mouvement d’une charge s’écrira dans le système C où sa quadrivitesse<br />
est u i = dxi<br />
dτ :<br />
m ˜ Du i<br />
dτ<br />
= q<br />
c F i j u j<br />
avec Fij = ˜ DiAj − ˜ DjAi = ∂Aj ∂Ai<br />
−<br />
∂xi ∂xj (25.6)<br />
où la dernière égalité provient du fait que les symboles de Christoffel sont symétriques, où Ai sont les<br />
composantes, dans C, du vecteur quadri-potentiel A : A = Ai dx i et où les indices sont descendus ou montés<br />
à l’aide de ℓij ou de son inverse. Quant aux équations de Maxwell (13.3) elles deviennent<br />
Fij;k + Fjk;i + Fki;j = 0 , F ij 4π<br />
;j =<br />
c ji<br />
(25.7)<br />
où l’on rappelle que Fij;k ≡ ˜ DkFij = Fij,k − ˜ Γ l ki Flj − ˜ Γ l kj Fil. A cause de l’antisymétrie de Fij elle s’écrivent<br />
aussi<br />
Fij,k + Fjk,i + Fki,j = 0 ,<br />
La conservation du tenseur énergie-impulsion du champ,<br />
s’écrit, en tenant compte des équations de Maxwell<br />
∂j( (detℓ) F ij )<br />
(detℓ)<br />
= 4π<br />
c ji . (25.8)<br />
T ij = 1<br />
<br />
F<br />
4π<br />
i kF jk − 1<br />
4 ℓij FklF kl<br />
<br />
, (25.9)<br />
˜DkT ik = − 1<br />
c F i kj k . (25.10)<br />
Enfin, le tenseur énergie-impulsion d’un fluide parfait se généralise tout aussi automatiquement<br />
T ij = (ɛ + p) ui u j<br />
+ p ℓij<br />
c2 (25.11)<br />
et la loi covariante de conservation, ˜ DiT ij = 0, conduit aux versions covariantes des équations de continuité<br />
et d’Euler (16.3-4) régissant le mouvement d’un fluide :<br />
˜Di(n u i ) = 0 , (ɛ + p) ˜ Du k<br />
20<br />
dτ<br />
+ dp<br />
dτ uk + c 2 ∂ k p = 0 . (25.12)