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Quant au laplacien d’une fonction f on peut le définir de deux façons équivalentes :<br />
On peut enfin généraliser l’opérateur de Laplace par △ ≡ δd + dδ .<br />
△f = ∇ . ∇f = ∂α∂ α f , δdf = −∂α∂ α f (21.4)<br />
22. Le théorème de Stokes<br />
Soit α = 1<br />
p! αi1...ipdXi1 ∧ ...dXip une p-forme décomposée sur la base naturelle des 1-formes dXi associées à<br />
des coordonnées (pseudo)-euclidiennes Xi d’un espace (pseudo-)euclidien de dimension n. Soit une hypersurface Σ de<br />
dimension p dans cet espace. Elle peut être définie par des équations paramétriques : Xi = Xi (λ1 , ..., λp ). En substituant<br />
dXi = ∂Xi<br />
∂λj dλj dans l’expression de α on obtient sa restriction à Σp, forme différentielle d’ordre p dans un espace de<br />
dimension p, donc de degré maximum, qui est de la forme : a(λi )dλ1 ∧ ... ∧ dλp . 19 On définit alors l’intégrale de α sur<br />
Σ comme l’intégrale élémentaire <br />
α ≡ a(λ<br />
Σ Σ<br />
i )dλ 1 ...dλ p . (22.1)<br />
Ceci permet de donner un sens opérationnel (mais non rigoureux) au théorème de Stokes :<br />
<br />
dα = α (22.2)<br />
V Σ<br />
où si α est une p-forme, Σ est l’hypersurface de dimension p délimitant le volume V de dimension (p + 1). Le théorème<br />
de Gauss est un cas particulier du théorème de Stokes correspondant à p = n − 1, n étant la dimension de l’espace.<br />
Covariance générale et repères accélérés<br />
Equations du mouvement en repère quelconque<br />
23. Repères accélérés et coordonnées gaussiennes<br />
En mécanique newtonienne, voir livre ND-JPU, on considère quatre types de changement de coordonnées<br />
ou repère : (1) les changements de repère cartésien (rotation des trois axes et translation de l’origine) qui<br />
laissent vitesse et accélération invariantes ; (2) le passage d’un repère inertiel à un autre par le groupe de<br />
Galilée (mouvement de translation uniforme de l’origine), qui laisse l’accélération et la loi de la dynamique<br />
newtonienne invariantes ; (3) le passage à un repère accéléré par le groupe plus large des déplacements<br />
rigides (mouvement quelconque de rotation des trois axes et de translation de l’origine) qui introduit dans<br />
la loi de la dynamique des accélérations d’inertie ; enfin, (4), passage dans un repère cartésien donné à des<br />
coordonnées curvilignes qui conduit à écrire la loi de la dynamique en termes de dérivée covariante. Cette<br />
relative complexité est due à la structure de l’espace-temps de Newton : les changements de coordonnées<br />
(1) et (4) s’opèrent dans l’espace euclidien E3 (et sa cohorte d’espaces tangents) ; les opérations (2) et (3)<br />
définissent des familles de repères, un pour chaque feuille du fibré N4 = E3 × R.<br />
Dans l’espace-temps pseudo-euclidien de Minkowski où se formulent les lois de la relativité restreinte<br />
seules les transformations de coordonnées X i = X i (x j ), linéaires ou non sont envisageables.<br />
Ainsi les transformations, linéaires, de Lorentz (qui laissent quadri-accélération et quadri-vitesse invariantes)<br />
unifient comme nous l’avons vu les changements de repères cartésiens et le passage d’un repère inertiel<br />
à un autre. Rassemblons les formules qui les caractérisent, cf & 5 :<br />
X ′j = Λ j<br />
i (Xi − d i ) ; ei = Λ j<br />
i e′ j , ɛ ′j = Λ j<br />
i ɛi<br />
(23.1)<br />
19 Ainsi par exemple si n = 3 (X α = {X, Y, Z}) et α est une 2-forme, on a : a(λ 2 , λ 2 ) = 2(α[12]∂[1X∂2]Y +<br />
α[13]∂[1X∂2]Z + α[23]∂[1Y ∂2]Z)<br />
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