L'ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI - LUTh

Quant au laplacien d’une fonction f on peut le définir de deux façons équivalentes :
On peut enfin généraliser l’opérateur de Laplace par △ ≡ δd + dδ .
△f = ∇ . ∇f = ∂α∂ α f , δdf = −∂α∂ α f (21.4)
22. Le théorème de Stokes
Soit α = 1
p! αi1...ipdXi1 ∧ ...dXip une p-forme décomposée sur la base naturelle des 1-formes dXi associées à
des coordonnées (pseudo)-euclidiennes Xi d’un espace (pseudo-)euclidien de dimension n. Soit une hypersurface Σ de
dimension p dans cet espace. Elle peut être définie par des équations paramétriques : Xi = Xi (λ1 , ..., λp ). En substituant
dXi = ∂Xi
∂λj dλj dans l’expression de α on obtient sa restriction à Σp, forme différentielle d’ordre p dans un espace de
dimension p, donc de degré maximum, qui est de la forme : a(λi )dλ1 ∧ ... ∧ dλp . 19 On définit alors l’intégrale de α sur
Σ comme l’intégrale élémentaire
α ≡ a(λ
Σ Σ
i )dλ 1 ...dλ p . (22.1)
Ceci permet de donner un sens opérationnel (mais non rigoureux) au théorème de Stokes :
dα = α (22.2)
V Σ
où si α est une p-forme, Σ est l’hypersurface de dimension p délimitant le volume V de dimension (p + 1). Le théorème
de Gauss est un cas particulier du théorème de Stokes correspondant à p = n − 1, n étant la dimension de l’espace.
Covariance générale et repères accélérés
Equations du mouvement en repère quelconque
23. Repères accélérés et coordonnées gaussiennes
En mécanique newtonienne, voir livre ND-JPU, on considère quatre types de changement de coordonnées
ou repère : (1) les changements de repère cartésien (rotation des trois axes et translation de l’origine) qui
laissent vitesse et accélération invariantes ; (2) le passage d’un repère inertiel à un autre par le groupe de
Galilée (mouvement de translation uniforme de l’origine), qui laisse l’accélération et la loi de la dynamique
newtonienne invariantes ; (3) le passage à un repère accéléré par le groupe plus large des déplacements
rigides (mouvement quelconque de rotation des trois axes et de translation de l’origine) qui introduit dans
la loi de la dynamique des accélérations d’inertie ; enfin, (4), passage dans un repère cartésien donné à des
coordonnées curvilignes qui conduit à écrire la loi de la dynamique en termes de dérivée covariante. Cette
relative complexité est due à la structure de l’espace-temps de Newton : les changements de coordonnées
(1) et (4) s’opèrent dans l’espace euclidien E3 (et sa cohorte d’espaces tangents) ; les opérations (2) et (3)
définissent des familles de repères, un pour chaque feuille du fibré N4 = E3 × R.
Dans l’espace-temps pseudo-euclidien de Minkowski où se formulent les lois de la relativité restreinte
seules les transformations de coordonnées X i = X i (x j ), linéaires ou non sont envisageables.
Ainsi les transformations, linéaires, de Lorentz (qui laissent quadri-accélération et quadri-vitesse invariantes)
unifient comme nous l’avons vu les changements de repères cartésiens et le passage d’un repère inertiel
à un autre. Rassemblons les formules qui les caractérisent, cf & 5 :
X ′j = Λ j
i (Xi − d i ) ; ei = Λ j
i e′ j , ɛ ′j = Λ j
i ɛi
(23.1)
19 Ainsi par exemple si n = 3 (X α = {X, Y, Z}) et α est une 2-forme, on a : a(λ 2 , λ 2 ) = 2(α[12]∂[1X∂2]Y +
α[13]∂[1X∂2]Z + α[23]∂[1Y ∂2]Z)
17