L'ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI - LUTh

Soit une p-forme α = 1
p! αi1...ip θi1 ∧ ...θ ip . Son dual est la (n − p)-forme ∗ α (où ∗ dénote l’opérateur de Hodge)
définie par
∗ α =
1
(n − p)!p! ɛi1...ipip+1...in αi1...ip θ ip+1 ∧ ...θ in (18.1)
où ɛi1...in est l’indice de Levi-Civita d’ordre n et où les indices ont été montés avec l’aide de la métrique, de composantes
ηij ou δαβ (et où les θi ne sont pas ordonnées). Prenons pour l’exemple le cas euclidien et n = 3. Le dual de la 0-forme
1 est θ1 ∧ θ2 ∧ θ3 ; le dual de la 1-forme de base θ1 est θ2 ∧ θ3 ; le dual de la 2-forme θ1 ∧ θ2 est θ3 ; enfin le dual de
θ1 ∧ θ2 ∧ θ3 est 1. A 4 dimensions et pour une métrique minkowskienne :
∗ (θ 0 ∧ θ 1 ) = −θ 2 ∧ θ 3
∗ (θ 1 ∧ θ 2 ) = +θ 0 ∧ θ 3
,
,
∗ (θ 0 ∧ θ 2 ) = +θ 1 ∧ θ 3
∗ (θ 1 ∧ θ 3 ) = −θ 0 ∧ θ 2
,
,
∗ (θ 0 ∧ θ 3 ) = −θ 1 ∧ θ 2
∗ (θ 2 ∧ θ 3 ) = +θ 0 ∧ θ 1
(18.2)
On se convainc aisément que si p est le degré de la forme α, n la dimension de l’espace et sign g la signature de sa
métrique (+1 pour un espace euclidien, −1 pour un espace minkowskien) alors :
∗∗ α = (−1) p(n−p) (sign g) α . (18.3)
L’opérateur de Hodge permet de relier produit extérieur et produit vectoriel. Rappelons en effet qu’en géométrie
euclidienne à n = 3 dimensions le produit vectoriel de deux vecteurs v et w se décomposant selon v = v β hβ et
w = w γ hγ sur une base hα de En est v ∧ w ≡ ɛ α βγ vβ w γ hα. En utilisant la métrique euclidienne, de composantes δ αβ ,
comme ascenseur d’indice, on peut associer à ce vecteur v ∧ w la forme ɛαβγv β w γ θ α . Cette forme n’est autre que le dual
du produit extérieur des formes vβ θ β et wγ θ γ associées par ascension d’indices aux vecteurs v et w.
19. La dérivation extérieure
La dérivation extérieure est un opérateur, noté d, agissant sur une p-forme pour donner une (p + 1)-forme et
possédant les propriétés suivantes qui la définissent : si f est une 0-forme, df(t) = t f (où t est un vecteur de En), ce
qui coïncide avec la définition des (1)-formes différentielles(cf e.g. livre ND-JPU) ; d(α + β) = dα + dβ, α et β étant
des formes de même degré, et
d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1) p α ∧ dβ et d 2 = 0 (19.1)
p étant le degré de α.
Cette définition ne requiert que l’introduction d’un espace vectoriel En (à partir duquel on construit son dual, puis
ses produits tensoriels dont les formes sont des éléments). Mais si la “brique” de base est un espace (pseudo-)euclidien, on
peut introduire les bases naturelles ∂
∂X i et dXi associées à des coordonnées (pseudo-)cartésiennes Xi , et la la dérivation
extérieure se définit alors simplement par : soit α = 1
p! αi1i2...ipdXi1 ∧ ...dXip une p-forme ; sa dérivée extérieure est
dα = ∂lαi1i2...ipdX l ∧ dX i1 ∧ ...dX ip (19.2)
dont on vérifie qu’elle possède toutes les propriétés (19.1). La dernière, appelée lemme de Poincaré, se démontre
facilement : d(dα) = ∂ 2 p l αi1i2...ip dXp ∧ dX l ∧ dX i1 ∧ ...dX ip = 0 vue la symétrie des dérivées secondes.
Une forme α dont la dérivée extérieure est nulle (dα = 0) est dite fermée. Une forme α qui est la dérivée extérieure
d’une forme β (α = dβ) est dite exacte. Une forme exacte est fermée ; réciproquement, si une p-forme est fermée
alors elle est (localement du moins) exacte, i.e., si α est telle que dα = 0 alors il existe une (p − 1)-forme β telle que,
localement, α = dβ.
Lorsque l’on dispose d’une métrique on peut définir un autre opérateur de dérivation, la codifférentielle, notée δ,
qui agit sur une forme α selon
δα = −(sign g)(−1) n(p+1) ∗ d ∗ α (19.3)
où sign g est la signature de la métrique, n la dimension de l’espace, p le degré de la forme α et ∗ l’opérateur de Hodge
défini en (18.3). Comme l’opération ∗∗ est essentiellement l’identité (cf (18.3)) et vu le lemme de Poincaré (d 2 = 0) on a
δ 2 = 0 . (18.4)
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