L'ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI - LUTh

et où P i charges
avec
dP i
charges
dT
≡
n mnu i n est la quadri-impulsion des particules chargées créant le champ, introduite en &4
≡
n
. Ainsi, en absence de flux à travers Σ, la quadri-impulsion P i totale, somme de
γi n
mn u0 n
celle du champ et des charges, est constante en vertu des équations de Maxwell et de Lorentz. Les grandeurs
W et S définies en (15.1) s’interpètent donc comme les densités d’énergie et d’impulsion du champ, et T ik ,
défini en (15.2), comme le tenseur d’énergie-impulsion du champ électromagnétique.
Réciproquement, si on impose que le tenseur impulsion-énergie du champ soit conservé, i.e. que ∂jT ij =
0, alors l’identité (15.3) implique ∂jF ij = 0. En d’autres termes, la conservation du tenseur énergie-impulsion
du champ électromagnétique implique les équations du mouvement, i.e. les équations de Maxwell (hors des
charges).
L’espace-temps absolu M4 et sa cohorte de repères inertiels minkowskiens est un cadre manifestement
approprié à la description de l’électromagnétisme, ainsi que nous venons de le voir. En est-il de même
des autres interactions ? La réponse est oui pour ce qui est des champs à courte portée qui régissent la
dynamique des nucléons et particules élémentaires, tous décrits en termes de quadri-vecteurs, tenseurs (ou
spineurs) de M4. Il est d’ailleurs une façon simple de le voir. Rappelons en effet que la loi (11.1) avec
F = 0 permet aussi de traiter les problèmes de chocs de particules car, sauf au moment du choc, elles sont
libres. Un choc élastique est défini par le fait que la quadri-impulsion totale du système est conservée dans
l’interaction. Or cette loi de conservation permet de décrire, en accord avec l’expérience, les collisions de
particules élémentaires qui, lors du choc, interagissent par l’intermédiaire de ces champs à courte portée.
La seule interaction fondamentale qui résiste à une formulation dans le cadre de la relativité restreinte est
la gravitation. Ses diverses descriptions en termes de quadri-vecteurs ou tenseurs de M4 ont toutes conduit
à des prédictions en désaccord avec les observations (en particulier celle concernant l’avance du périhélie de
Mercure). Point n’est donc ici besoin d’en faire l’historique.
16. Fluides parfaits
Tirant leçon de la formulation des lois de l’électromagnétisme dans le cadre de la relativité restreinte, on
décrit le contenu énergétique de toute matière par un tenseur d’ordre deux symétrique dont les composantes
T 00 et 1
c T 0α représentent sa densité d’énergie et d’impulsion.
Le flot d’un fluide, c.-à-d. l’ensemble continu (ou congruence) des lignes d’univers de ses éléments, est
est la quadri-
décrit par un champ de vecteurs U i (Xj ), normalisé selon UiU i = −c2 , de sorte que U i = dXi
dτ
vitesse de la ligne d’univers du flot d’équation Xi = Xi (τ) passant au point considéré Xi . Si, dans le repère
inertiel où une portion du fluide est (momentanément) au repos, les grandeurs le décrivant sont isotropes, le
fluide est dit parfait. Dans ce repère donc le tenseur énergie-impulsion du fluide est imposé être de la forme
T 00 = ɛ , T 0α = 0 , T αβ = c 2 p δ αβ
(16.1)
où ɛ(X i ) et p(X i ) sont la densité propre d’énergie et la pression du fluide.
Un façon d’obtenir l’expression de T ij dans le repère où le flot du fluide est U i (X j ) est de construire, à
partir des scalaires ɛ et p et du vecteur U i , un tenseur qui se réduise à (16.1) dans le repère où le fluide, dans un
voisinage de X j , est momentanément au repos, i.e. où les composantes de U i se réduisent à U i = (c, 0, 0, 0).
Le tenseur cherché est
T ij = (ɛ + p) U i U j
c 2 + p ηij . (16.2)
Imposer la conservation du tenseur énergie-impulsion, ∂jT ij = 0, donne les équations du mouvement du
fluide. En effet en contractant cette équation avec Uj on obtient d’abord la loi de conservation du nombre
baryonique n défini par dn/n = dɛ/(ɛ + p) :
∂i(n U i ) = 0 . (16.3)
A l’ordre le plus bas en 1/c, ɛ est d’ordre O(c2 ) (car elle inclut l’énergie de masse) et p d’ordre O(1),
n ∝ ɛ ∼ c2ϱ où ϱ est la densité de masse et (16.3) se réduit à : − ∂ϱ
∂T = ∇.(ϱv), i.e à l’équation newtonienne
de conservation de la masse (cf livre ND-JPU).
Tenant compte de (16.3) l’équation de conservation prend le nom d’équation d’Euler relativiste et s’écrit
(ɛ + p)
dU k
dτ
+ dp
dτ U k + c 2 ∂ k p = 0 (16.4)
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