L'ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI - LUTh

dont la solution générale est un paquet d’ondes se propageant à vitesse c, numériquement égale à celle de
la lumière, comme que le vérifia Hertz. (C’est ainsi que Maxwell en conclut que la lumière était un champ
électromagnétique).
L’expérience impose (cf Note 9) que les équations de Maxwell (13.1-2) soient invariantes dans le passage
à un autre repère inertiel (car contrairement à ce qui est possible avec le son par exemple, cf livre ND-JPU,
il s’avère impossible de déterminer le repère où un “éther” porteur des ondes lumineuses serait au repos).
Or, dans un cadre newtonien, E et B sont des vecteurs de E3, t est le temps absolu et il est très malaisé
d’imposer leur invariance dans le passage d’un repère inertiel à un autre au moyen des transformations de
Galilée (sauf à imposer que les champs ne soient pas représentés par les mêmes vecteurs dans deux repères
différents et à introduire un temps “fictif” comme nous l’avons vu en & 12.)
Dans le cadre de la relativité restreinte E et B sont les composantes du tenseur de Faraday Fij ≡
∂iAj − ∂jAi (où A i = (Φ, A)), t = T est le temps d’une l’horloge immobile dans le repère inertiel considéré
et l’on voit aisément que les équations (13.1) s’écrivent :
Fij,k + Fjk,i + Fki,j = 0 , F ij 4π
,j =
c ji
(13.3)
où j i = (cρ, j) est le quadri-vecteur courant et où on rappelle les notations f,i ≡ ∂if ≡ ∂f
∂X i . La première
équation est équivalente au deux premières équations de Maxwell et est une identité puisque Fij est contraint
par Fij = ∂iAj − ∂jAi. La seconde s’écrit aussi
Ai − ∂i(∂jA j ) = − 4π
c ji
(13.4)
où le Dalembertien est défini par ≡ ηij∂i∂j = − 1
c2 ∂ 2
∂T 2 + △. 14 Exprimées ainsi sous forme tensorielle, Les
équations de Maxwell (13.3-4) gardent par construction la même forme d’un repère inertiel à un autre. De
même le scalaire FijF ij et le pseudo-scalaire ɛijklFijFkl ont même valeur dans tous les repères inertiels : 15
FijF ij = F ′ ijF ′ij ⇐⇒ E 2 − B 2 = E ′2 − B ′2
ɛ ijkl FijFkl = ɛ ijkl F ′ ijF ′ kl ⇐⇒ E.B = E ′ .B ′ .
14. Loi de conservation du courant de charge
La seconde équation de Maxwell (13.3) impose la loi de conservation du courant
(13.5)
∂ij i ≡ 0 (14.1)
car Fij est antisymétrique. En intégrant sur un 3-volume V de l’hyperplan X0 ≡ cT = Const. on obtient,
par le théorème de Gauss
dQ
= − j
dT Σ
α nαdS où
Q ≡ ρ dV .
V
(14.2)
Σ est la 2-surface délimitant V, dV est l’élément de volume et nαdS l’élément de surface. En absence de flux
à travers Σ, Q, la charge totale du système inclus dans V, est constante.
14 ∂jA j étant un scalaire il a même valeur dans tout repère inertiel. Comme le quadri-potentiel A ′ i = Ai + ∂if définit le
même tenseur de Faraday, cf Note 11, on peut choisir choisir f de sorte que ∂jA ′j = 0, en résolvant l’équation ∂iA i + f = 0.
L’ensemble des quadripotentiels A ′ i obtenus (définis à des gradients de fonctions harmoniques près, i.e. à ∂ih près où h = 0)
forme la jauge de Lorentz.
15 Les composantes ηij de la métrique de Minkowski, le symbole de Kronecker δ i j et le pseudo-tenseur ou indice de Levi-Civita
ɛijkl complètement antisymétrique (avec ɛ0123 = +1) sont les trois grandeurs qui ont les mêmes composantes dans tous les
systèmes de coordonnées pseudo-cartésiennes.
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