Contribution à la conception optimale en terme de linéarité et ...
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CHAPITRE II – CONSIDERATIONS GENERALES SUR LA LINEARITE DES AMPLIFICATEURS DE PUISSANCE<br />
II.4.2. - PRODUITS D’INTERMODULATION A N PORTEUSES<br />
II.4.2.1. - Développem<strong>en</strong>t mathématique<br />
L’étu<strong>de</strong> mathématique du comportem<strong>en</strong>t <strong>en</strong> intermodu<strong>la</strong>tion d’un amplificateur est <strong>en</strong><br />
pratique très difficile, voire impossible. Passée <strong>la</strong> difficulté <strong>de</strong> <strong>la</strong> modélisation, les calculs<br />
s’avèr<strong>en</strong>t très <strong>la</strong>borieux (même pour un calcu<strong>la</strong>teur) <strong>et</strong> il est souv<strong>en</strong>t nécessaire d’avoir<br />
recours <strong>à</strong> <strong>de</strong>s hypothèses simplificatrices.<br />
Ainsi une approximation <strong>de</strong> type limiteur parfait est couramm<strong>en</strong>t adoptée [1]- [9] .<br />
Malgré ce<strong>la</strong>, les calculs ne peuv<strong>en</strong>t être m<strong>en</strong>és <strong>à</strong> <strong>terme</strong> qu’<strong>à</strong> l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> développem<strong>en</strong>ts limités.<br />
Mêmes si ces approximations ne perm<strong>et</strong>t<strong>en</strong>t pas l’étu<strong>de</strong> satisfaisante d’un<br />
amplificateur réel ces modèles perm<strong>et</strong>t<strong>en</strong>t toutefois <strong>de</strong> dégager <strong>de</strong>s t<strong>en</strong>dances générales.<br />
II.4.2.1.1. - Modèle polynomial<br />
Pr<strong>en</strong>ons le cas d’une non <strong>linéarité</strong> sans mémoire représ<strong>en</strong>tée par un développem<strong>en</strong>t<br />
polynomial <strong>de</strong> <strong>de</strong>gré impair.<br />
y(<br />
t)<br />
= a x(t) + a x(t) + a x(t)<br />
où x est le signal d’<strong>en</strong>trée <strong>et</strong> y le signal <strong>de</strong> sortie.<br />
1<br />
3<br />
3<br />
5<br />
7<br />
+ L<br />
C<strong>et</strong>te représ<strong>en</strong>tation est suffisante pour étudier le comportem<strong>en</strong>t <strong>en</strong> intermodu<strong>la</strong>tion <strong>de</strong><br />
n’importe quel polynôme puisque seul les puissances impaires génèr<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s produits<br />
d’intermodu<strong>la</strong>tion dans <strong>la</strong> ban<strong>de</strong> du signal d’<strong>en</strong>trée.<br />
Si le signal d’<strong>en</strong>trée d’un tel amplificateur est composé <strong>de</strong> plusieurs sinusoï<strong>de</strong>s<br />
() t = a cos(<br />
ω t)<br />
+ bcos(<br />
ω t)<br />
+ ccos(<br />
ω t)<br />
+ L<br />
x 1<br />
2<br />
3<br />
Le signal <strong>de</strong> sortie du au <strong>terme</strong> x sera l’image amplifiée du signal d’<strong>en</strong>trée, tandis<br />
que les autres <strong>terme</strong>s donneront naissance <strong>à</strong> <strong>de</strong>s raies parasites ayant <strong>de</strong>s fréqu<strong>en</strong>ces égales <strong>à</strong><br />
<strong>de</strong>s combinaisons linéaires <strong>de</strong>s fréqu<strong>en</strong>ces du signal d’<strong>en</strong>trée.<br />
a 1<br />
Les amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> ces distorsions dép<strong>en</strong>d<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s amplitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong>s raies d’<strong>en</strong>trée <strong>et</strong> <strong>de</strong>s<br />
valeurs <strong>de</strong>s <strong>terme</strong>s constants a , a , a , <strong>et</strong>c (cas simplifié où les phases <strong>à</strong> l’origine <strong>de</strong>s<br />
porteuses sont fixées <strong>à</strong> zéro).<br />
1<br />
3<br />
5<br />
Une métho<strong>de</strong> pour évaluer ces amplitu<strong>de</strong>s consiste <strong>à</strong> substituer l’équation (2) dans<br />
n<br />
l’équation (1) <strong>et</strong> <strong>à</strong> réduire les puissances <strong>de</strong> ( cos( ω it ) ) <strong>en</strong> somme <strong>de</strong> cosinus.<br />
50<br />
(5)<br />
(6)