Contribution à la conception optimale en terme de linéarité et ...
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CHAPITRE I – OUTILS DE MODELISATION, DE CARACTERISATION ET D’ANALYSE NON-LINEAIRE<br />
I.4.4. - TRANSISTOIRE D’ENVELOPPE<br />
Le principe <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te métho<strong>de</strong> repose sur <strong>la</strong> représ<strong>en</strong>tation <strong>de</strong> tout signal comme<br />
combinaison d’une haute fréqu<strong>en</strong>ce, <strong>la</strong> porteuse, <strong>et</strong> d’une basse fréqu<strong>en</strong>ce, <strong>la</strong> modu<strong>la</strong>tion :<br />
où<br />
z<br />
+<br />
Ω<br />
() = ( Ω)<br />
Ω<br />
π ∫ Z e d<br />
−<br />
ˆ 1<br />
Z t<br />
2<br />
ˆ<br />
N<br />
BW / 2<br />
jk 0<br />
jk t<br />
Zk t e ,<br />
k<br />
k N<br />
BW / 2<br />
ˆ ω<br />
= ∑<br />
(1)<br />
= −<br />
t<br />
() t ()<br />
Z () t ˆ k est l’<strong>en</strong>veloppe complexe <strong>de</strong> l’harmonique k <strong>de</strong> <strong>la</strong> porteuse <strong>à</strong> <strong>la</strong> fréqu<strong>en</strong>ce ω ,<br />
BW est <strong>la</strong> <strong>la</strong>rgeur du spectre autour <strong>de</strong> <strong>la</strong> porteuse,<br />
Ω est l’écart <strong>en</strong>tre <strong>de</strong>ux raies du spectre du signal d’excitation.<br />
Si l’on se p<strong>la</strong>ce dans une approximation ban<strong>de</strong> étroite pour simplifier <strong>la</strong> formu<strong>la</strong>tion,<br />
l’équation d’équilibrage, décrite précé<strong>de</strong>mm<strong>en</strong>t, s’écrit <strong>de</strong> <strong>la</strong> manière suivante :<br />
X ˆ<br />
k<br />
⎪<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
( ω)<br />
= ( ω ) + ( ω − ω ) Y ( jω)<br />
ˆ<br />
j A jk j k<br />
⎪<br />
⎧<br />
+ ⎨B<br />
⎪⎩<br />
dA<br />
djω<br />
dB<br />
djω<br />
ω=<br />
kω<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
( ω ) + ( ω − ω ) G ( jω)<br />
ˆ<br />
jk j k<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
ω=<br />
kω<br />
avec ω − kω0 ≤ BW / 2 . Dans le domaine temporel c<strong>et</strong>te équation <strong>de</strong>vi<strong>en</strong>t une<br />
équation différ<strong>en</strong>tielle du premier ordre régissant <strong>la</strong> dynamique <strong>de</strong>s <strong>en</strong>veloppes <strong>de</strong>s<br />
harmoniques kω0<br />
:<br />
X ˆ<br />
k<br />
() () G () t ˆ<br />
Y t ˆ t = α + β<br />
k0<br />
k<br />
k0<br />
k<br />
+ α<br />
k1<br />
Y<br />
dt<br />
ˆ d k<br />
( ) G ( t)<br />
ˆ t d<br />
+ β<br />
k1<br />
0<br />
0<br />
k<br />
dt<br />
k<br />
k<br />
,<br />
− N ≤ k ≤ N<br />
Sur c<strong>et</strong>te équation nous pouvons appliquer <strong>la</strong> méthodologie <strong>de</strong> discrétisation appliquée<br />
<strong>à</strong> l’intégration temporelle (intégration par rectangle) :<br />
⎧X<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
ˆ<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩−<br />
k<br />
( ) = α Y ( t ) ˆ t<br />
n<br />
k0<br />
+ β Gˆ k0<br />
k<br />
β<br />
+ k1<br />
Δt<br />
N ≤ k ≤ N<br />
k<br />
n<br />
α<br />
Δt<br />
( )<br />
( ) + ( ) − Y ( t ) ˆ Y t ˆ t k1<br />
( ( ) − G ( t −1)<br />
) ˆ G t ˆ<br />
k<br />
n<br />
n<br />
k<br />
37<br />
n<br />
k<br />
n<br />
k<br />
n−1<br />
0<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)