Contribution à la conception optimale en terme de linéarité et ...
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ANNEXE<br />
A<br />
E<br />
y<br />
u<br />
avec<br />
m L m 1 N<br />
() t<br />
∑<br />
=<br />
( m Lm<br />
) ∈Ω<br />
+ Ω ( m Lm<br />
)<br />
A<br />
m Lm<br />
1<br />
i<br />
N<br />
n<br />
L<br />
1<br />
= ∑<br />
l=<br />
1<br />
l<br />
2<br />
C J<br />
m<br />
N N<br />
L ∑ Am<br />
Lm<br />
cos⎢∑miωit+<br />
∑ 1 n<br />
∈ Ω + Ω<br />
⎢i=<br />
0 i=<br />
0<br />
1<br />
i<br />
n<br />
( lαA1)<br />
LJ<br />
m ( lαA<br />
N )<br />
N<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
N<br />
⎡<br />
⎣<br />
⎥ ⎥<br />
⎤<br />
miφi<br />
⎦<br />
( m1,<br />
m N ) ∈ 1<br />
Pour <strong>de</strong>s porteuses <strong>de</strong> même amplitu<strong>de</strong> A = A = L = A = A,<br />
∀ L Ω ,<br />
d’où<br />
= A<br />
y<br />
0<br />
u<br />
⎛ A0<br />
⎞<br />
= ⎜ ⎟ * A = λA<br />
⎝ A ⎠<br />
N<br />
() t = λ A cos(<br />
ω t + φ )<br />
∑<br />
i=<br />
0<br />
i<br />
i<br />
+<br />
( ) m m L<br />
i<br />
⎡<br />
∑ A0<br />
cos⎢∑miωit+<br />
∑<br />
n<br />
⎢⎣<br />
∈ Ω i=<br />
0 i=<br />
0<br />
Signal amplifié Bruit d’intermodu<strong>la</strong>tion<br />
2<br />
N<br />
N<br />
⎥ ⎥<br />
⎤<br />
miφi<br />
⎦<br />
Si x <strong>et</strong> y sont <strong>de</strong>ux processus aléatoires, <strong>la</strong> fonction d’intercorré<strong>la</strong>tion statistique est<br />
* ( y () t x ( t − τ)<br />
)<br />
u<br />
. C<strong>et</strong>te fonction dép<strong>en</strong>d <strong>à</strong> <strong>la</strong> fois du temps t <strong>et</strong> du r<strong>et</strong>ard τ .<br />
Effectuons l’intercorré<strong>la</strong>tion <strong>en</strong>tre xˆ <strong>et</strong> yˆ u .<br />
E<br />
*<br />
*<br />
( yˆ () t x ( t − τ)<br />
) = λE<br />
xˆ () t xˆ ( t − τ)<br />
u<br />
⎡⎡<br />
+ E⎢⎢<br />
⎢<br />
⎣⎢⎣<br />
( )<br />
N<br />
∑<br />
i<br />
A<br />
i<br />
cos<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
( ) ⎥ ⎥<br />
⎡ N<br />
N ⎤⎤<br />
∑ 0 ⎢∑<br />
i i + ∑miφi⎥<br />
m ∈ Ω ⎢⎣<br />
= = ⎥<br />
i Lm<br />
n<br />
i 0<br />
i 0 ⎦⎦<br />
*<br />
( ω t + φ ) *<br />
A cos m ω ( t − τ)<br />
i<br />
i<br />
= 0<br />
2<br />
Les produits constituants c<strong>et</strong>te expression sont <strong>de</strong> <strong>la</strong> forme<br />
E<br />
⎡ N<br />
N ⎤<br />
ω j j ∑ i i + ∑miφi⎥<br />
⎢⎣<br />
i=<br />
0<br />
i=<br />
0 ⎥⎦<br />
( cos( + φ ) * cos⎢<br />
m ω ( t − τ)<br />
( m , L,<br />
m )<br />
Il existe au moins <strong>de</strong>ux valeurs non nulles dans le Nupl<strong>et</strong> . Notons par<br />
l’indice k une phase non corrélé avec φ j (elle existe puisque nous avons <strong>de</strong>ux <strong>terme</strong>s distincts<br />
non nuls).<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
0<br />
d’où<br />
N<br />
k<br />
i k<br />
0 i<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
miφi = ⎜ m ⎟<br />
i i + m φ<br />
⎜ ∑ φ<br />
⎟<br />
⎜ = ⎟<br />
⎝ ≠ ⎠<br />
k<br />
184<br />
1<br />
N