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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 53
3.2.a FDTD
Yee propose en 1966 une discrétisation des équations de Maxwell dans l'espace et le temps.
L'algorithme FDTD résout pour chaque itération temporelle tous les champs électriques et
magnétiques en tout point de l'ensemble du maillage. Ce dernier a une structure parallélépipédique
et les objets doivent le suivre pour être correctement pris en compte par la méthode. L'originalité du
schéma de Yee est le décalage dans l'espace et le temps des champs électriques et magnétiques.
Généralement, les champs électriques sont déterminés au milieu des arrêtes et les champs
magnétiques au milieu des faces. A chaque itération temporelle n, les champs électriques sont
calculés aux instants n et les champs magnétiques aux instants n+1/2.
Alors qu'il est préconisé de mailler la surface ou le volume avec un pas spatial inférieur à
λ/20 pour limiter la dispersion numérique, une surface rugueuse qui a une longueur de corrélation
de l'ordre de λ et une hauteur quadratique moyenne de l'ordre de λ/3 doit être maillée en λ/100 pour
que l'erreur sur le champ diffracté soit inférieur à 5% [4 p91]. En raison de la discrétisation de
l'objet dans le maillage, une rugosité numérique se superpose à la rugosité naturelle et fausse les
résultats. En quelque sorte, le maillage peut être vu comme un filtrage spatial passe bas (figure 44).
Par ailleurs, pour des raisons de stabilité numérique, le pas temporel doit être inférieur au temps
nécessaire à l'onde pour traverser une cellule. Le pas temporel devient donc de plus en plus petit au
fur et à mesure que le pas spatial diminue. Finalement, un suréchantillonnage de la structure aboutit
rapidement à une augmentation des ressources informatiques dans des proportions déraisonnables,
tant en terme d'espace mémoire que de temps CPU.
Figure 44 : Illustration de la dégradation de la rugosité dans un maillage FDTD (maillage en λ/100 et à gauche,
λ/20 à droite). Dans cet exemple, la convention qui a été prise est la suivante : si la courbe passe au dessus du
centre de la maille alors elle contient du diélectrique.
Un autre grand problème de la FDTD est la difficulté de contrôler la taille des petits objets.
En raison de la répartition spatiale des champs électriques et magnétiques et de la façon d'appliquer
les conditions aux interfaces, un objet simulé apparaît plus grand que l'ensemble des mailles qui lui
est associé : pour un objet métallique, ce surdimensionnement varie entre 20% et 50% de la taille
d'une maille suivant le pas temporel et la finesse de discrétisation (cf. figure 45). Ceci peut
s'expliquer en se rappelant que la FDTD suppose une faible variation du champ au sein d'une
maille. Or, le champ varie très rapidement à proximité immédiate des éléments métalliques. En ce