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40 PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES h=0.25 h=0.50 h=0.75 Figure 32 : Réalisation de trois surfaces avec la méthode "diamondsquare" (Nit=8, NX=NY=2) pour différentes valeurs de h. Ce paramètre augmente le chaos de la surface. C'estàdire que hrms augmente et LC diminue lorsque h varie de 0 à 1. 2.3.d.iii Génération de volumes par la méthode "DiamondSquare4D" La méthode "DiamondSquare4D" est une généralisation de l'algorithme précédant avec une dimension spatiale supplémentaire. Elle va nous permettre de générer une matrice normalisée à trois dimensions représentative de la granulosité dans un maillage parallélépipédique [14, 15]. Il y a donc bien trois dimensions spatiales pour déterminer la position et une dimension associée à la pondération en permittivité ou en conductivité. La méthode de génération fait intervenir un algorithme qui s'applique sur plusieurs cubes initiaux aussi appelés motifs élémentaires. La définition d'un motif élémentaire nécessite deux paramètres. Le premier paramètre fractal h choisi dans l'intervalle ]0, 1[ fixe la rapidité de décroissance de l'intervalle Ii=]h i , +h i [. Le second paramètre Nit détermine le nombre d'itérations donc par là même le nombre de points par motif ; autrement dit la résolution. La définition finale de la structure fait intervenir trois autres paramètres NX, NY et NZ correspondant au nombre de motifs élémentaires sur les trois axes. Une phase d'initialisation consiste à définir les poids des sommets de chaque cube initial de côté a. Ces pondérations sont prises uniformément dans l'intervalle [1, +1]. Les trois étapes de l'algorithme également illustrées figure 33 sont décrites cisuit. ● Étape 1 : la pondération du milieu de chaque cube est définie par la moyenne arithmétique des valeurs des 8 sommets (distants de a 3/2 ) plus une variable aléatoire prise uniformément dans l'intervalle Ii. ● Étape 2 : chaque milieu de face est calculé en moyennant les quatre sommets de la face considérée (distants de a 2/2 ) plus une variable aléatoire prise dans Ii. ● Étape 3 : reste à définir les milieux des arêtes à partir des sommets de l'arête, des milieux des faces se trouvant dans le plan transverse considéré (c'estàdire de l'ensemble des points distants de a/2) et d'une variable aléatoire prise dans Ii.
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 41 Phase d'initialisation 1 ère itération : étape 1 1 ère itération : étape 2 1 ère itération : étape 3 Figure 33 : Représentation de l'algorithme de la méthode dite DiamondSquare4D sur un motif élémentaire. L'application d'une itération génère huit cubes sur lesquels on peut répéter l'algorithme. Comme dans le cas des surfaces la valeur moyenne quadratique est liée à la valeur du paramètre h et la répartition des pondérations suit une loi gaussienne. L'expression (20) se déduit d'une étude statistique sur un grand nombre de réalisations (une centaine). L'étude statistique révèle également que h est indépendante du nombre de motifs (NX.NY.NZ) et converge pour un nombre d'itérations Nit supérieur ou égal à quatre. h=0,31 0,45 ⋅h−1,3 ⋅h 2 1,4 ⋅h 3 Il est souvent important de connaître la pondération maximale possible notamment dans les applications de la troisième partie. Par exemple, si l'on utilise la matrice pour modéliser un sol hétérogène en permittivité avec la méthode FDTD, il faut être certain de mailler suffisamment finement pour limiter la dispersion numérique (la taille d'une maille doit être inférieure à λ milieu/10). Pour cela, l'abaque présenté figure 34 permet de déterminer la valeur de pondération maximale théorique présente dans le matériau. Il est obtenu par un calcul numérique en substituant toutes les variables aléatoires intervenant dans l'algorithme par la borne supérieure de l'intervalle dans lequel elles sont choisies. Dans la pratique, le majorant théorique a une probabilité infime d'être atteint et cette probabilité est d'autant plus petite que le nombre d'itérations est important. Le passage de la matrice normalisée M0 à la matrice de permittivité s'obtient par (21) où les paramètres 〈 r 〉 et k laissés au choix de l'utilisateur désignent respectivement la permittivité moyenne et un facteur multiplicatif. r i , j , k = 〈 r 〉k⋅M 0 i , j , k (21) (20)
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