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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 37
● La seconde étape est appelée "Diamond" : à partir de chaque losange matérialisé par les
points ajoutés à l'étape "Square" (c'est en fait un carré incliné), on définit un point en son
centre dont la hauteur est la moyenne des sommets plus une variable aléatoire prise
uniformément dans l'intervalle Ii. Si l'on ne dispose que de trois points, on effectue la
moyenne sur trois sommets afin d'éviter des effets de bord indésirables.
L'application de ces deux étapes permet d'obtenir à partir d'un carré, quatre carrés sur
lesquels on peut répéter l'algorithme.
Phase d'initialisation 1 ère itération : étape 1 1 ère itération : étape 2
Figure 25 : Représentation de l'algorithme de la méthode dite Diamond­Square. Les points en noir sont les
nouveaux points mis en jeux à chaque étape de calcul. Dans cet exemple, après avoir choisit quatre carrés
initiaux, l'application d'une itération génère seize carrés sur lesquels on peut répéter l'algorithme.
Afin de relier les grandeurs liées à l'algorithme et les grandeurs usuelles de la rugosité, une
étude statistique a été effectuée sur un grand nombre de surfaces (une centaine).
Nous avons élaboré une expression analytique empirique de la loi de répartition des hauteurs
des points composants la surface. Cette répartition peut être approchée par une gaussienne (figure
26). La répartition est indépendante de (Nx, Ny) et converge pour Nit≥4. Dans le cas où la surface est
normalisée, c'est­à­dire lorsque z0=1, l'expression empirique 17 permet de faire le lien entre le
paramètre h de l'algorithme et la moyenne quadratique des hauteurs de la surface.
h rms h =0,37 0,12⋅h−0,48⋅h 2 0,85⋅h 3
Pour effectuer des modélisations, il s'avère important de connaître la hauteur maximale de la
surface, par exemple pour s'assurer d'avoir choisi un volume de calcul suffisamment grand. Cette
hauteur maximale dépend de h et du nombre d'itérations Nit, elle s'obtient lorsque toutes les
variables aléatoires sont prises égales à la borne supérieure de l'intervalle Ii. Il est cependant
impossible d'établir une formule générale donnant la hauteur maximale en fonction de h et Nit. En
effet, pour chaque position dans la matrice il est possible d'établir par récurrence une loi donnant la
hauteur maximale théorique, mais la position du maximum dépend elle aussi de h (cf. figure 31). Il
y a presque autant de lois que de points. L'abaque présenté figure 28 permet de déterminer la
hauteur maximale théorique en multipliant la valeur lue par z0.
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