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32 PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES D=1,2 D=1,8 Figure 15 : Réalisation d'une fonction de Weierstrass avec b=3 , n 1 =−6, n 2 =6, h rms =2 . On observe sur trois périodes de la fréquence spatiale la plus basse, c'estàdire b n1 Les axes sont à l'échelle avec une unité arbitraire. Le spectre fréquentiel se présente comme un ensemble de pics de Dirac aux fréquences spatiales b n et d'amplitude proportionnelle à b n(D2) 2.3.b Fonction Brownienne La fonction brownienne d'un point a été définie par Levy (1948) dans le cas de la sphère, puis étendue au plan par Mandelbrot et Tchensov. Le processus est le suivant : partant d'un plan, on crée des marches aléatoires suivant des droites i de position et direction aléatoires. La hauteur des marches est décrite par une variable aléatoire à répartition gaussienne. En répétant l'opération une infinité de fois on engendre une surface fractale autoaffine. Le figure 16 montre qu'il faut réaliser un grand nombre d'itérations pour que la fonction brownienne présente un rendu réaliste. De plus, la fonction Brownienne ne converge pas pour un nombre d'itérations tendant vers l'infini. Ce mode de génération n'a pas été retenu puisqu'il engendre des temps de calcul prohibitifs par rapport à notre application et par rapport aux méthodes vues précédemment. Une itération 10 itérations 50 itérations 500 itérations 1500 itérations Figure 16 : Construction d'une fonction brownienne à partir d'un plan. 2.3.c Les cratères de la Lune Une météorite d'une énergie donnée, elle même fonction de la masse et de la vitesse, creuse à la surface d'une planète un cratère de profondeur et de profil caractéristiques. A la surface de la Lune, les cratères de moins de 15 km de diamètre ont une profondeur du dixième de leur diamètre alors que les cratères plus grands ont une géométrie plus compliquée. En considérant l'équiprobabilité d'occurrence d'une collision dans une région donnée (à grande échelle, l'équateur est davantage soumis aux bombardements que les pôles) et le fait que le logarithme du nombre de
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 33 cratères de diamètre D par unité de surface suit une fonction affine par rapport au logarithme du diamètre. La reconstitution d'une surface susceptible de représenter correctement la réalité devient possible. Figure 17 : Génération d'une zone de cratères d'impacts. Figure 18 : Zone de cratères d'impacts dans la région de Erinadia sur Mars (image MSSS). Ce même principe de génération peut s'étendre à des surfaces autres que les zones de cratères d'impacts. On peut tout à fait imaginer que la répartition d'une végétation ou que la position d'objets dans le sol suive le même type de loi. 2.3.d Structures définies par un processus itératif : la méthode DiamondSquare Nous appelons "DiamondSquare" une méthode de génération de profils montagneux aléatoires dérivés de la fonction de Takagi (voir page 29). Ce terme a déjà été employé par Miller [12]. Initialement prévue pour modéliser des surfaces, nous allons voir comment cette méthode se décline dans toutes les dimensions pour générer des profils, des surfaces puis des volumes hétérogènes. 2.3.d.i Génération de profils par le processus itératif dit de la méthode des diamants Pour générer des profils adaptés au maillage parallélépipédique utilisé par la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD), il faut que la différence des abscisses entre deux points consécutifs soit constante. Les courbes de Von Koch aléatoires sont donc inadaptées puisqu'elles nécessiteraient l'emploi de méthodes d'interpolations qui compliquerait inutilement le problème. Il est alors préférable d'adapter la courbe de Takagi déterministe pour la transformer en une fractale statistique.
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