Etude théorique de radars géologiques - Epublications - Université ...

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PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES
D=1,2 D=1,8
Figure 15 : Réalisation d'une fonction de Weierstrass avec b=3 , n 1 =−6, n 2 =6, h rms =2 . On observe sur
trois périodes de la fréquence spatiale la plus basse, c'est­à­dire b ­n1 Les axes sont à l'échelle avec une unité
arbitraire.
Le spectre fréquentiel se présente comme un ensemble de pics de Dirac aux fréquences
spatiales b n et d'amplitude proportionnelle à b n(D­2)
2.3.b Fonction Brownienne
La fonction brownienne d'un point a été définie par Levy (1948) dans le cas de la sphère,
puis étendue au plan par Mandelbrot et Tchensov. Le processus est le suivant : partant d'un plan, on
crée des marches aléatoires suivant des droites i de position et direction aléatoires. La hauteur
des marches est décrite par une variable aléatoire à répartition gaussienne. En répétant l'opération
une infinité de fois on engendre une surface fractale auto­affine.
Le figure 16 montre qu'il faut réaliser un grand nombre d'itérations pour que la fonction
brownienne présente un rendu réaliste. De plus, la fonction Brownienne ne converge pas pour un
nombre d'itérations tendant vers l'infini. Ce mode de génération n'a pas été retenu puisqu'il engendre
des temps de calcul prohibitifs par rapport à notre application et par rapport aux méthodes vues
précédemment.
Une itération 10 itérations 50 itérations 500 itérations 1500 itérations
Figure 16 : Construction d'une fonction brownienne à partir d'un plan.
2.3.c Les cratères de la Lune
Une météorite d'une énergie donnée, elle même fonction de la masse et de la vitesse, creuse
à la surface d'une planète un cratère de profondeur et de profil caractéristiques. A la surface de la
Lune, les cratères de moins de 15 km de diamètre ont une profondeur du dixième de leur diamètre
alors que les cratères plus grands ont une géométrie plus compliquée. En considérant
l'équiprobabilité d'occurrence d'une collision dans une région donnée (à grande échelle, l'équateur
est davantage soumis aux bombardements que les pôles) et le fait que le logarithme du nombre de