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Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques ­ Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 31
Chaîne de montagne au Tibet (photographie prise à
partir du satellite Landsat)
Stylotites dans les calcaires de Harrodsburg
Figure 14 : Fractales rencontrées dans la nature
Étincelle se formant
à la surface d'un diélectrique
2.3­ Génération de surfaces rugueuses : les méthodes basées sur les
fractales
2.3.a Fractales définies par une fonction : Modèle de Weierstrass
La fonction de Weierstrass utilise une série de fonctions oscillantes dont l'amplitude décroît
avec l'augmentation de la fréquence. L'expression des familles de fonctions W de Weierstrass est :
W x=h rms
2 1−b 2 D−2
b 2 D−2 n 1−b 2 D−2 n 2 1 ∑ n=n1
n 2
b n D−2 cos 2 b n x n
Pour que cette série décrive réellement une fractale, les paramètres n1 et n2 doivent tendre
respectivement vers moins l'infini et plus l'infini. Dans la pratique ces valeurs sont finies et l'on
préfère employer le terme de préfractale. Le paramètre b lié à la fréquence spatiale est un irrationnel
pour éviter que b n ne puisse s'écrire sous la forme kb avec k un entier. De cette manière, les
maximua des cosinus pris deux à deux ne peuvent pas se superposer plus d'une fois. Le paramètre
de phase n est une variable aléatoire à répartition uniforme dans l'intervalle [0, 2π[. La courbe
obtenue a pour dimension fractale D au sens de Bouligand­Minkowski.
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