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28 PARTIE I : SURFACES RUGUEUSES ET MILIEUX HETEROGENES une courbe f(x) on considère un intervalle Δx=1 correspondant à une variation verticale Δf=1, alors f est autoaffine si le changement λΔx transforme Δf en λ H Δf où H≠1, alors que pour une fractale autosimilaire, il lui correspondrait une transformation de λΔf. Une dimension fractale D peut être définie par la méthode des boîtes. on aboutit dans ce cas à la relation (12). D = d T −H (12) Si l'on considère une courbe du plan, la dimension topologique est dT=2 mais la propriété se généralise à un espace de dimension quelconque (sous réserve qu'elle soit finie) avec dT la dimension topologique de l'espace dans lequel est plongé l'objet fractal. Malheureusement, la fractalité autoaffine n'est pas aussi triviale que la fractalité autosimilaire. On peut lui attribuer une dimension fractale, mais par une procédure plus difficile que celle que nous avons vu pour les fractales autosimilaires. En particulier, les différentes définitions de dimension fractale (BouligandMinkowski, HausdorffBesicovitch...) conduisent à des résultats différents. Il est aussi possible de définir une dimension dite globale ce qui rend l'interprétation de la dimension fractale caduque. Le lecteur intéressé par de plus amples explications se référera aux références citées en bibliographie, en particulier [7] où les différentes dimensions sont introduites de façon rigoureuse. Figure 10 : Exemple de fractale autoaffine déterministe. En partant d'un rectangle découpé en 2 verticalement et en 4 horizontalement et en remplaçant chaque fois la diagonale par les diagonales des rectangles comme indiqué, on fabrique une figure qui est invariante sous une dilatation horizontale d'un facteur 4 (affinité horizontale) suivie d'une dilatation verticale de facteur 2 (affinité verticale). D=2−ln 2/ln 4 Pour conclure ce paragraphe, rappelons un théorème étonnant liant les deux types de fractales : la coupe par un plan d'une surface fractale autoaffine est une courbe fractale autosimilaire [7 p54][8 p213]. 2.2.b.iii Autre exemple : la courbe de Takagi La courbe de Takagi (1903) également appelée courbe de van Der Waerden (1930) est la représentation de la fonction (13) où d(x) désigne la distance de x à l'entier le plus proche. y x = ∑ k=0 ∞ d 2 k ⋅x 2 k (13)
Samuel BESSE : Étude Théorique de Radars Géologiques Analyses de sols, d'antennes et interprétation des signaux 29 Elle avait été introduite pour donner un exemple de fonction continue en tous points mais dérivable nul part! Elle peut aussi se construire à partir d'un processus itératif, dans ce cas, chaque itération supplémentaire revient à considérer un nouveau terme de la somme. Le motif initial est un segment horizontal et l'algorithme consiste à introduire un nouveau point P(xP, yP) à partir de chaque segment [AB] : ● xP = moyenne des abcisses de A et de B ● yP = moyenne des ordonnées de A et de B plus (1/2) i où i désigne la i ème itération.Il s'agit bien d'une courbe fractale puisqu'elle peut se scinder à l'infini. On peut noter que certaines parties de la courbe sont autoaffines avec la courbe entière. Mais globalement cette courbe n'est ni autosimilaire ni autoaffine. Figure 11 : Courbe de Takagi, représentation de chaque terme de la somme (à gauche) et somme des termes (à droite). Les différentes courbes ont volontairement été décalées pour plus de clareté. 2.2.c Fractale statistique Même si la courbe de Von Koch rappelle la configuration très sinueuse d'un littoral, une courbe aussi parfaite ne suffit pas pour décrire les diversités rencontrées dans la nature. Les structures que nous avons vu jusqu'à maintenant sont parfaitement déterministes mais l'introduction de formes aléatoires est tout à fait possible. Dans ces structures aléatoires la récurrence définissant la hiérarchie est régie par une ou plusieurs lois probabilistes précisant le choix de tel ou tel générateur à chaque itération. Deux exemples basés sur la courbe de Von Koch permettent d'introduire les concepts de fractales homogènes et hétérogènes : ● si tous les générateurs utilisés permettent de calculer la même dimension de similarité alors la fractale est dite homogène (figure 12) ; ● si au contraire les générateurs aboutissent à des dimensions de similarités différentes alors la structure est dite hétérogène (figure 13).
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